Calculus Examples

$f (z) = \sec (z + \ln (z))$

Step 1

Differentiate using the chain rule, which states that $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ is $f' (g (z)) g' (z)$ where $f (z) = \sec (z)$ and $g (z) = z + \ln (z)$ .

Tap for more steps...

Step 1.1

To apply the Chain Rule, set $u$ as $z + \ln (z)$ .

$\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d z} [z + \ln (z)]$

Step 1.2

The derivative of $\sec (u)$ with respect to $u$ is $\sec (u) \tan (u)$ .

$\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d z} [z + \ln (z)]$

Step 1.3

Replace all occurrences of $u$ with $z + \ln (z)$ .

$\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) \frac{d}{d z} [z + \ln (z)]$

Step 2

Differentiate.

Tap for more steps...

Step 2.1

By the Sum Rule, the derivative of $z + \ln (z)$ with respect to $z$ is $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [\ln (z)]$ .

$\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [\ln (z)])$

Step 2.2

Differentiate using the Power Rule which states that $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ is $n z^{n - 1}$ where $n = 1$ .

$\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) (1 + \frac{d}{d z} [\ln (z)])$

Step 3

The derivative of $\ln (z)$ with respect to $z$ is $\frac{1}{z}$ .

$\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) (1 + \frac{1}{z})$

Step 4

Simplify.

Tap for more steps...

Step 4.1

Apply the distributive property.

$\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) \cdot 1 + \sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) \frac{1}{z}$

Step 4.2

Multiply $\sec (z + \ln (z))$ by $1$ .

$\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) + \sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) \frac{1}{z}$

Step 4.3

Multiply $\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) \frac{1}{z}$ .

Tap for more steps...

Step 4.3.1

Combine $\frac{1}{z}$ and $\sec (z + \ln (z))$ .

$\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) + \frac{\sec (z + \ln (z))}{z} \tan (z + \ln (z))$

Step 4.3.2

Combine $\frac{\sec (z + \ln (z))}{z}$ and $\tan (z + \ln (z))$ .

$\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) + \frac{\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z))}{z}$

Step 4.4

To write $\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z))$ as a fraction with a common denominator, multiply by $\frac{z}{z}$ .

$\frac{\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) z}{z} + \frac{\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z))}{z}$

Step 4.5

Combine the numerators over the common denominator.

$\frac{\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) z + \sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z))}{z}$

Step 4.6

Factor $\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z))$ out of $\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) z + \sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z))$ .

Tap for more steps...

Step 4.6.1

Factor $\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z))$ out of $\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) z$ .

$\frac{\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) (z) + \sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z))}{z}$

Step 4.6.2

Factor $\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z))$ out of $\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z))$ .

$\frac{\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) (z) + \sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) (1)}{z}$

Step 4.6.3

Factor $\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z))$ out of $\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) (z) + \sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) (1)$ .

$\frac{\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) (z + 1)}{z}$