삼각법 예제

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Step 1

변수를 서로 바꿉니다.

$x = \cos^{2} (y) - \sin^{2} (y)$

Step 2

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$\cos^{2} (y) - \sin^{2} (y) = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\cos^{2} (y) - \sin^{2} (y) = x$

방정식의 양변에서 $x$ 를 뺍니다.

$\cos^{2} (y) - \sin^{2} (y) - x = 0$

코사인 배각공식을 적용합니다.

$\cos (2 y) - x = 0$

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

방정식의 양변에 $x$ 를 더합니다.

$\cos (2 y) = x$

코사인 안의 $y$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$2 y = \arccos (x)$

$2 y = \arccos (x)$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$2 y = \arccos (x)$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (x)}{2}$

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (x)}{2}$

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\arccos (x)}{2}$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{2}$

Step 4

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{2}$ 가 $f (x) = \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = \frac{\arccos (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))}{2}$

코사인 배각공식을 적용합니다.

$f^{- 1} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = \frac{\arccos (\cos (2 x))}{2}$

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\frac{\arccos (x)}{2})$ 값을 계산합니다.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin^{2} (\frac{\arccos (x)}{2})$

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = \cos (\frac{\arccos (x)}{2})$ 이고 $b = \sin (\frac{\arccos (x)}{2})$ 입니다.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = (\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2})) (\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

FOIL 계산법을 이용하여 $(\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2})) (\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$ 를 전개합니다.

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분배 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) (\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin (\frac{\arccos (x)}{2})) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

분배 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2})) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

분배 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2})) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2})) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$ 의 반대 항을 묶습니다.

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인수가 항 $\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$ 과(와) $\sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2})$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) - \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) + \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

$- \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2})$ 를 $\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2})$ 에 더합니다.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + 0 + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

$\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2})$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

각 항을 간단히 합니다.

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$\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2})$ 을 곱합니다.

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$\cos (\frac{\arccos (x)}{2})$ 를 $1$ 승 합니다.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

$\cos (\frac{\arccos (x)}{2})$ 를 $1$ 승 합니다.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = {\cos (\frac{\arccos (x)}{2})}^{1 + 1} + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2})$

$- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$\sin (\frac{\arccos (x)}{2})$ 를 $1$ 승 합니다.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) - (\sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

$\sin (\frac{\arccos (x)}{2})$ 를 $1$ 승 합니다.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) - (\sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) - {\sin (\frac{\arccos (x)}{2})}^{1 + 1}$

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin^{2} (\frac{\arccos (x)}{2})$

코사인 배각공식을 적용합니다.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (2 (\frac{\arccos (x)}{2}))$

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (2 (\frac{\arccos (x)}{2}))$

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\arccos (x))$

함수 코사인과 아크코사인은 역함수입니다.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = x$

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{2}$ 은 $f (x) = \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{2}$