미적분 예제

${(x^{2} + 7)}^{4}$

Step 1

1차 도함수를 구합니다.

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$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = x^{2} + 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 7$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)$

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 4 u^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)$

$u$ 를 모두 $x^{2} + 7$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = 4 {(x^{2} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)$

미분합니다.

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합의 법칙에 의해 $x^{2} + 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ 가 됩니다.

$f' (x) = 4 {(x^{2} + 7)}^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (7))$

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 4 {(x^{2} + 7)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (7))$

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$f' (x) = 4 {(x^{2} + 7)}^{3} (2 x + 0)$

식을 간단히 합니다.

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$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 4 {(x^{2} + 7)}^{3} (2 x)$

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 8 {(x^{2} + 7)}^{3} x$

$8 {(x^{2} + 7)}^{3} x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$f' (x) = 8 x {(x^{2} + 7)}^{3}$

Step 2

2차 도함수를 구합니다

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$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x {(x^{2} + 7)}^{3}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 7)}^{3}]$ 입니다.

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{3})$

$f (x) = x$ , $g (x) = {(x^{2} + 7)}^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 8 (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{3}) + {(x^{2} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = x^{2} + 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 7$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 8 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)) + {(x^{2} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 8 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)) + {(x^{2} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

$u$ 를 모두 $x^{2} + 7$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)) + {(x^{2} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

미분합니다.

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합의 법칙에 의해 $x^{2} + 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} + 7)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (7))) + {(x^{2} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} + 7)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (7))) + {(x^{2} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} + 7)}^{2} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

식을 간단히 합니다.

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$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} + 7)}^{2} (2 x)) + {(x^{2} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 8 (x (6 {(x^{2} + 7)}^{2} x) + {(x^{2} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = 8 (x \cdot x (6 {(x^{2} + 7)}^{2}) + {(x^{2} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = 8 (x \cdot x (6 {(x^{2} + 7)}^{2}) + {(x^{2} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = 8 (x^{1 + 1} (6 {(x^{2} + 7)}^{2}) + {(x^{2} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 7)}^{2}) + {(x^{2} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 7)}^{2}) + {(x^{2} + 7)}^{3} \cdot 1)$

${(x^{2} + 7)}^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 7)}^{2}) + {(x^{2} + 7)}^{3})$

간단히 합니다.

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분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 7)}^{2})) + 8 {(x^{2} + 7)}^{3}$

$6$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 48 (x^{2} ({(x^{2} + 7)}^{2})) + 8 {(x^{2} + 7)}^{3}$

$48 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{2} + 8 {(x^{2} + 7)}^{3}$ 에서 $8 {(x^{2} + 7)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

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$48 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{2}$ 에서 $8 {(x^{2} + 7)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = 8 {(x^{2} + 7)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} + 7)}^{3}$

$8 {(x^{2} + 7)}^{3}$ 에서 $8 {(x^{2} + 7)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = 8 {(x^{2} + 7)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} + 7)}^{2} (x^{2} + 7)$

$8 {(x^{2} + 7)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} + 7)}^{2} (x^{2} + 7)$ 에서 $8 {(x^{2} + 7)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = 8 {(x^{2} + 7)}^{2} (6 x^{2} + x^{2} + 7)$

$6 x^{2}$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 8 {(x^{2} + 7)}^{2} (7 x^{2} + 7)$

${(x^{2} + 7)}^{2}$ 을 $(x^{2} + 7) (x^{2} + 7)$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = 8 ((x^{2} + 7) (x^{2} + 7)) (7 x^{2} + 7)$

FOIL 계산법을 이용하여 $(x^{2} + 7) (x^{2} + 7)$ 를 전개합니다.

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분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = 8 (x^{2} (x^{2} + 7) + 7 (x^{2} + 7)) (7 x^{2} + 7)$

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 7 + 7 (x^{2} + 7)) (7 x^{2} + 7)$

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 7 + 7 x^{2} + 7 \cdot 7) (7 x^{2} + 7)$

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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각 항을 간단히 합니다.

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지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = 8 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 7 + 7 x^{2} + 7 \cdot 7) (7 x^{2} + 7)$

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 8 (x^{4} + x^{2} \cdot 7 + 7 x^{2} + 7 \cdot 7) (7 x^{2} + 7)$

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $7$ 이동하기

$f'' (x) = 8 (x^{4} + 7 \cdot x^{2} + 7 x^{2} + 7 \cdot 7) (7 x^{2} + 7)$

$7$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 8 (x^{4} + 7 x^{2} + 7 x^{2} + 49) (7 x^{2} + 7)$

$7 x^{2}$ 를 $7 x^{2}$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 8 (x^{4} + 14 x^{2} + 49) (7 x^{2} + 7)$

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = (8 x^{4} + 8 (14 x^{2}) + 8 \cdot 49) (7 x^{2} + 7)$

간단히 합니다.

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$14$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = (8 x^{4} + 112 x^{2} + 8 \cdot 49) (7 x^{2} + 7)$

$8$ 에 $49$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = (8 x^{4} + 112 x^{2} + 392) (7 x^{2} + 7)$

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(8 x^{4} + 112 x^{2} + 392) (7 x^{2} + 7)$ 를 전개합니다.

$f'' (x) = 8 x^{4} (7 x^{2}) + 8 x^{4} \cdot 7 + 112 x^{2} (7 x^{2}) + 112 x^{2} \cdot 7 + 392 (7 x^{2}) + 392 \cdot 7$

각 항을 간단히 합니다.

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곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{4} x^{2}) + 8 x^{4} \cdot 7 + 112 x^{2} (7 x^{2}) + 112 x^{2} \cdot 7 + 392 (7 x^{2}) + 392 \cdot 7$

지수를 더하여 $x^{4}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = 8 \cdot (7 (x^{2} x^{4})) + 8 x^{4} \cdot 7 + 112 x^{2} (7 x^{2}) + 112 x^{2} \cdot 7 + 392 (7 x^{2}) + 392 \cdot 7$

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{2 + 4}) + 8 x^{4} \cdot 7 + 112 x^{2} (7 x^{2}) + 112 x^{2} \cdot 7 + 392 (7 x^{2}) + 392 \cdot 7$

$2$ 를 $4$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{6}) + 8 x^{4} \cdot 7 + 112 x^{2} (7 x^{2}) + 112 x^{2} \cdot 7 + 392 (7 x^{2}) + 392 \cdot 7$

$8$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 56 x^{6} + 8 x^{4} \cdot 7 + 112 x^{2} (7 x^{2}) + 112 x^{2} \cdot 7 + 392 (7 x^{2}) + 392 \cdot 7$

$7$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 56 x^{6} + 56 x^{4} + 112 x^{2} (7 x^{2}) + 112 x^{2} \cdot 7 + 392 (7 x^{2}) + 392 \cdot 7$

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f'' (x) = 56 x^{6} + 56 x^{4} + 112 \cdot (7 x^{2} x^{2}) + 112 x^{2} \cdot 7 + 392 (7 x^{2}) + 392 \cdot 7$

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = 56 x^{6} + 56 x^{4} + 112 \cdot (7 (x^{2} x^{2})) + 112 x^{2} \cdot 7 + 392 (7 x^{2}) + 392 \cdot 7$

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = 56 x^{6} + 56 x^{4} + 112 \cdot (7 x^{2 + 2}) + 112 x^{2} \cdot 7 + 392 (7 x^{2}) + 392 \cdot 7$

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 56 x^{6} + 56 x^{4} + 112 \cdot (7 x^{4}) + 112 x^{2} \cdot 7 + 392 (7 x^{2}) + 392 \cdot 7$

$112$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 56 x^{6} + 56 x^{4} + 784 x^{4} + 112 x^{2} \cdot 7 + 392 (7 x^{2}) + 392 \cdot 7$

$7$ 에 $112$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 56 x^{6} + 56 x^{4} + 784 x^{4} + 784 x^{2} + 392 (7 x^{2}) + 392 \cdot 7$

$7$ 에 $392$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 56 x^{6} + 56 x^{4} + 784 x^{4} + 784 x^{2} + 2744 x^{2} + 392 \cdot 7$

$392$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 56 x^{6} + 56 x^{4} + 784 x^{4} + 784 x^{2} + 2744 x^{2} + 2744$

$56 x^{4}$ 를 $784 x^{4}$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 56 x^{6} + 840 x^{4} + 784 x^{2} + 2744 x^{2} + 2744$

$784 x^{2}$ 를 $2744 x^{2}$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 56 x^{6} + 840 x^{4} + 3528 x^{2} + 2744$