미적분 예제

$y = 2 x - x^{2}$ , $y = x$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

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각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$2 x - x^{2} = x$

$2 x - x^{2} = x$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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$x$ 을 포함하는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

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방정식의 양변에서 $x$ 를 뺍니다.

$2 x - x^{2} - x = 0$

$2 x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$- x^{2} + x = 0$

$- x^{2} + x$ 에서 $- x$ 를 인수분해합니다.

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$- x^{2}$ 에서 $- x$ 를 인수분해합니다.

$- x \cdot x + x = 0$

$x$ 을 $1 x$ 로 바꿔 씁니다.

$- x \cdot x + 1 x = 0$

$1 x$ 에서 $- x$ 를 인수분해합니다.

$- x \cdot x - x \cdot - 1 = 0$

$- x (x) - x (- 1)$ 에서 $- x$ 를 인수분해합니다.

$- x (x - 1) = 0$

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x - 1 = 0 + y = x$

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

$- x (x - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 1$

$x = 0$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

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$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$y = 0$

괄호를 제거합니다.

$y = 0$

$x = 1$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

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$x$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$y = 1$

괄호를 제거합니다.

$y = 1$

연립방정식의 해는 모든 유효한 해의 순서쌍으로 이루어진 전체 집합입니다.

$(0, 0)$

$(1, 1)$

$(0, 0)$

$(1, 1)$

단계 2

$2 x$ 와 $- x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = - x^{2} + 2 x$

단계 3

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{0}^{1} - x^{2} + 2 x d x - \int_{0}^{1} x d x$

단계 4

$0$ 과(와) $1$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

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적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{0}^{1} - x^{2} + 2 x - (x) d x$

$2 x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\int_{0}^{1} - x^{2} + x d x$

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{0}^{1} - x^{2} d x + \int_{0}^{1} x d x$

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} x d x$

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} x d x$

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} x d x$

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}$

대입하여 간단히 합니다.

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$1$ , $0$ 일 때, $\frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$- ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}$

$1$ , $0$ 일 때, $\frac{1}{2} x^{2}$ 값을 계산합니다.

$- (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

간단히 합니다.

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1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$- (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

$0$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

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$0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

공약수로 약분합니다.

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$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

공약수로 약분합니다.

$- (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

수식을 다시 씁니다.

$- (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- (\frac{1}{3} - 0) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- (\frac{1}{3} + 0) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

$\frac{1}{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0$

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2})$

$0$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 0$

$\frac{1}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2}$

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $6$ 이 되도록 식을 씁니다.

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$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}$

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{2}{6} + \frac{3}{6}$

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 2 + 3}{6}$

$- 2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{1}{6}$

단계 5