미적분 예제

$f (x) = \frac{3}{x - 7}$

Step 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

1차 도함수를 구합니다.

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상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{3}{x - 7}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 7}]$ 입니다.

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x - 7})$

$\frac{1}{x - 7}$ 을 ${(x - 7)}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} ({(x - 7)}^{- 1})$

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x - 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 7$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x - 7))$

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 7))$

$u$ 를 모두 $x - 7$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = 3 (- {(x - 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 7))$

미분합니다.

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$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f' (x) = - 3 ({(x - 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 7))$

합의 법칙에 의해 $x - 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 가 됩니다.

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 7))$

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} (- 7))$

$- 7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 7$ 입니다.

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2} (1 + 0)$

식을 간단히 합니다.

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$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2} \cdot 1$

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2}$

간단히 합니다.

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음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f' (x) = - 3 \frac{1}{{(x - 7)}^{2}}$

항을 묶습니다.

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$- 3$ 와 $\frac{1}{{(x - 7)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{- 3}{{(x - 7)}^{2}}$

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = - \frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- \frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$ 입니다.

$- \frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$

Step 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- \frac{3}{{(x - 7)}^{2}} = 0$ 을 풉니다.

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1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- \frac{3}{{(x - 7)}^{2}} = 0$

분자가 0과 같게 만듭니다.

$3 = 0$

$3 \neq 0$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

Step 3

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않았다면 원래 문제의 정의역에는 $x$ 값이 존재하지 않습니다.

임계점 없음

Step 4

도함수가 정의되지 않은 위치를 찾습니다.

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식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

${(x - 7)}^{2} = 0$

$x$ 에 대해 풉니다.

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$x - 7$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 7 = 0$

방정식의 양변에 $7$ 를 더합니다.

$x = 7$

Step 5

도함수 $f' (x) = - \frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$ 가 $0$ 이 되거나 정의되지 않는 점을 구한 후 $(- \infty, 7) \cup (7, \infty)$ 구간에서 $f (x) = \frac{3}{x - 7}$ 가 증가하는지, 감소하는지를 확인합니다.

$(- \infty, 7) \cup (7, \infty)$

Step 6

$(- \infty, 7)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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수식에서 변수 $x$ 에 $6$ 을 대입합니다.

$f' (6) = - \frac{3}{{((6) - 7)}^{2}}$

결과를 간단히 합니다.

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분모를 간단히 합니다.

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$6$ 에서 $7$ 을 뺍니다.

$f' (6) = - \frac{3}{{(- 1)}^{2}}$

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (6) = - \frac{3}{1}$

식을 간단히 합니다.

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$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f' (6) = - 1 \cdot 3$

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f' (6) = - 3$

최종 답은 $- 3$ 입니다.

$- 3$

$x = 6$ 에서의 도함수는 $- 3$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- \infty, 7)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, 7)$ 에서 감소함

Step 7

$(7, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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수식에서 변수 $x$ 에 $8$ 을 대입합니다.

$f' (8) = - \frac{3}{{((8) - 7)}^{2}}$

결과를 간단히 합니다.

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분모를 간단히 합니다.

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$8$ 에서 $7$ 을 뺍니다.

$f' (8) = - \frac{3}{1^{2}}$

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f' (8) = - \frac{3}{1}$

식을 간단히 합니다.

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$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f' (8) = - 1 \cdot 3$

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f' (8) = - 3$

최종 답은 $- 3$ 입니다.

$- 3$

$x = 8$ 에서의 도함수는 $- 3$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(7, \infty)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(7, \infty)$ 에서 감소함

Step 8

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

다음 구간에서 감소: $(- \infty, 7), (7, \infty)$

Step 9