미적분 예제

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2}}{e^{x}}$

Step 1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

지수 $x$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{x}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$\frac{\infty}{\infty}$

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{\infty}{\infty}$

Step 2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Step 3

분자와 분모를 미분합니다.

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분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{2}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (2 x)}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x}{e^{x}}$

Step 4

$8$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$8 lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}}$

Step 5

로피탈 법칙을 적용합니다.

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분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$8 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$8 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

지수 $x$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{x}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$8 \frac{\infty}{\infty}$

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$8 \frac{\infty}{\infty}$

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

분자와 분모를 미분합니다.

$8 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

Step 6

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{e^{x}}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$8 \cdot 0$

Step 7

$8$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0$