미적분 예제

$f (x) = x (x - 9 \sqrt{x})$

Step 1

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (x - 9 x^{\frac{1}{2}}))$

$f (x) = x$ , $g (x) = x - 9 x^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

합의 법칙에 의해 $x - 9 x^{\frac{1}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{\frac{1}{2}}]$ 가 됩니다.

$f' (x) = x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x (1 + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

$- 9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 9 x^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $- 9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$f' (x) = x (1 - 9 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x (1 - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = x (1 - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = x (1 - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = x (1 - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = x (1 - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f' (x) = x (1 - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = x (1 - 9 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = x (1 - 9 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

$- 9$ 와 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = x (1 + \frac{- 9 x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f' (x) = x (1 + \frac{- 9}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = x (1 - \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x (1 - \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1$

$x - 9 x^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = x (1 - \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = x \cdot 1 + x (- \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = x + x (- \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

$x$ 와 $\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = x - \frac{x \cdot 9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

$x$ 의 왼쪽으로 $9$ 이동하기

$f' (x) = x - \frac{9 \cdot x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 분자로 이동합니다.

$f' (x) = x - \frac{9 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$x^{- \frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = x - \frac{9 (x^{- \frac{1}{2}} x)}{2} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

$x^{- \frac{1}{2}}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = x - \frac{9 (x^{- \frac{1}{2}} x)}{2} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = x - \frac{9 x^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$f' (x) = x - \frac{9 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = x - \frac{9 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

$- 1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f' (x) = x - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$f' (x) = 2 x - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 9 x^{\frac{1}{2}}$

공통 분모를 가지는 분수로 $- 9 x^{\frac{1}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 2 x - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 9 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2}$

$- 9 x^{\frac{1}{2}}$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = 2 x - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 9 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = 2 x + \frac{- 9 x^{\frac{1}{2}} - 9 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$

$2$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 2 x + \frac{- 9 x^{\frac{1}{2}} - 18 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

$- 9 x^{\frac{1}{2}}$ 에서 $18 x^{\frac{1}{2}}$ 을 뺍니다.

$f' (x) = 2 x + \frac{- 27 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = 2 x - \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

합의 법칙에 의해 $2 x - \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2}]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

$\frac{d}{d x} [- \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- \frac{27}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 의 미분은 $- \frac{27}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}$

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 에 $\frac{27}{2}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 2 - \frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 27}{2 \cdot 2}$

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 2 - \frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 27}{4}$

$x^{- \frac{1}{2}}$ 의 왼쪽으로 $27$ 이동하기

$f'' (x) = 2 - \frac{27 \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{4}$

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}}$

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $2 - \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}}$ 입니다.

$2 - \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}}$

Step 2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $2 - \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$2 - \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$- \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}} = - 2$

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$4 x^{\frac{1}{2}}, 1$

1과 식의 최소공배수는 그 식 자체입니다.

$4 x^{\frac{1}{2}}$

$- \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}} = - 2$ 의 각 항에 $4 x^{\frac{1}{2}}$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}} = - 2$ 의 각 항에 $4 x^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}} (4 x^{\frac{1}{2}}) = - 2 (4 x^{\frac{1}{2}})$

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$4 x^{\frac{1}{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 27}{4 x^{\frac{1}{2}}} (4 x^{\frac{1}{2}}) = - 2 (4 x^{\frac{1}{2}})$

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 27}{4 x^{\frac{1}{2}}} (4 x^{\frac{1}{2}}) = - 2 (4 x^{\frac{1}{2}})$

수식을 다시 씁니다.

$- 27 = - 2 (4 x^{\frac{1}{2}})$

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 27 = - 8 x^{\frac{1}{2}}$

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 8 x^{\frac{1}{2}} = - 27$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- 8 x^{\frac{1}{2}} = - 27$

$- 8 x^{\frac{1}{2}} = - 27$ 의 각 항을 $- 8$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 8 x^{\frac{1}{2}} = - 27$ 의 각 항을 $- 8$ 로 나눕니다.

$\frac{- 8 x^{\frac{1}{2}}}{- 8} = \frac{- 27}{- 8}$

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 8 x^{\frac{1}{2}}}{- 8} = \frac{- 27}{- 8}$

$x^{\frac{1}{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{- 27}{- 8}$

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{27}{8}$

좌변의 분수 지수를 없애기 위해 방정식의 각 변을 $2$ 승합니다.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{27}{8})}^{2}$

지수를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{27}{8})}^{2}$

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

공약수로 약분합니다.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{27}{8})}^{2}$

수식을 다시 씁니다.

$x^{1} = {(\frac{27}{8})}^{2}$

간단히 합니다.

$x = {(\frac{27}{8})}^{2}$

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

${(\frac{27}{8})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$\frac{27}{8}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$x = \frac{27^{2}}{8^{2}}$

$27$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{729}{8^{2}}$

$8$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{729}{64}$

Step 3

2차 도함수가 $0$ 인 점을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$f (x) = x (x - 9 \sqrt{x})$ 에 $\frac{729}{64}$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{729}{64}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{729}{64}) = (\frac{729}{64}) ((\frac{729}{64}) - 9 \sqrt{\frac{729}{64}})$

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$\sqrt{\frac{729}{64}}$ 을 $\frac{\sqrt{729}}{\sqrt{64}}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - 9 \frac{\sqrt{729}}{\sqrt{64}})$

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$729$ 을 $27^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - 9 \frac{\sqrt{27^{2}}}{\sqrt{64}})$

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - 9 \frac{27}{\sqrt{64}})$

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$64$ 을 $8^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - 9 \frac{27}{\sqrt{8^{2}}})$

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - 9 (\frac{27}{8}))$

$- 9 (\frac{27}{8})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 9$ 와 $\frac{27}{8}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} + \frac{- 9 \cdot 27}{8})$

$- 9$ 에 $27$ 을 곱합니다.

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} + \frac{- 243}{8})$

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - \frac{243}{8})$

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{243}{8}$ 을 표현하기 위해 $\frac{8}{8}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - \frac{243}{8} \cdot \frac{8}{8})$

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $64$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$\frac{243}{8}$ 에 $\frac{8}{8}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - \frac{243 \cdot 8}{8 \cdot 8})$

$8$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - \frac{243 \cdot 8}{64})$

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot \frac{729 - 243 \cdot 8}{64}$

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 243$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot \frac{729 - 1944}{64}$

$729$ 에서 $1944$ 을 뺍니다.

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot \frac{- 1215}{64}$

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (- \frac{1215}{64})$

$\frac{729}{64} (- \frac{1215}{64})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$\frac{729}{64}$ 에 $\frac{1215}{64}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{729}{64}) = - \frac{729 \cdot 1215}{64 \cdot 64}$

$729$ 에 $1215$ 을 곱합니다.

$f (\frac{729}{64}) = - \frac{885735}{64 \cdot 64}$

$64$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$f (\frac{729}{64}) = - \frac{885735}{4096}$

최종 답은 $- \frac{885735}{4096}$ 입니다.

$- \frac{885735}{4096}$

$f (x) = x (x - 9 \sqrt{x})$ 에 $\frac{729}{64}$ 을 대입하여 구한 점은 $(\frac{729}{64}, - \frac{885735}{4096})$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(\frac{729}{64}, - \frac{885735}{4096})$

Step 4

$(- \infty, \infty)$ 을 변곡점 가능성이 있는 점 주위 간격으로 나눕니다.

$(- \infty, \frac{729}{64}) \cup (\frac{729}{64}, \infty)$

Step 5

$(- \infty, \frac{729}{64})$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

수식에서 변수 $x$ 에 $11.290625$ 을 대입합니다.

$f'' (11.290625) = 2 - \frac{27}{4 {(11.290625)}^{\frac{1}{2}}}$

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$11.290625$ 을 ${3.36015252}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (11.290625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot {({3.36015252}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (11.290625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot {3.36015252}^{2 (\frac{1}{2})}}$

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

공약수로 약분합니다.

$f'' (11.290625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot {3.36015252}^{2 (\frac{1}{2})}}$

수식을 다시 씁니다.

$f'' (11.290625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot 3.36015252}$

지수값을 계산합니다.

$f'' (11.290625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot 3.36015252}$

$4$ 에 $3.36015252$ 을 곱합니다.

$f'' (11.290625) = 2 - \frac{27}{13.4406101}$

$27$ 을 $13.4406101$ 로 나눕니다.

$f'' (11.290625) = 2 - 1 \cdot 2.00883738$

$- 1$ 에 $2.00883738$ 을 곱합니다.

$f'' (11.290625) = 2 - 2.00883738$

$2$ 에서 $2.00883738$ 을 뺍니다.

$f'' (11.290625) = - 0.00883738$

최종 답은 $- 0.00883738$ 입니다.

$- 0.00883738$

$11.290625$ 에서의 2차 미분값은 $- 0.00883738$ 입니다. 이 값이 음수이므로 2차 도함수는 $(- \infty, \frac{729}{64})$ 구간에서 감소합니다.

$f'' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, \frac{729}{64})$ 에서 감소함

Step 6

$(\frac{729}{64}, \infty)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

수식에서 변수 $x$ 에 $11.490625$ 을 대입합니다.

$f'' (11.490625) = 2 - \frac{27}{4 {(11.490625)}^{\frac{1}{2}}}$

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$11.490625$ 을 ${3.38978244}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (11.490625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot {({3.38978244}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (11.490625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot {3.38978244}^{2 (\frac{1}{2})}}$

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

공약수로 약분합니다.

$f'' (11.490625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot {3.38978244}^{2 (\frac{1}{2})}}$

수식을 다시 씁니다.

$f'' (11.490625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot 3.38978244}$

지수값을 계산합니다.

$f'' (11.490625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot 3.38978244}$

$4$ 에 $3.38978244$ 을 곱합니다.

$f'' (11.490625) = 2 - \frac{27}{13.55912976}$

$27$ 을 $13.55912976$ 로 나눕니다.

$f'' (11.490625) = 2 - 1 \cdot 1.99127823$

$- 1$ 에 $1.99127823$ 을 곱합니다.

$f'' (11.490625) = 2 - 1.99127823$

$2$ 에서 $1.99127823$ 을 뺍니다.

$f'' (11.490625) = 0.00872176$

최종 답은 $0.00872176$ 입니다.

$0.00872176$

$11.490625$ 에서의 이계도함수는 $0.00872176$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(\frac{729}{64}, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(\frac{729}{64}, \infty)$ 에서 증가함

Step 7

변곡점이란 곡선의 오목함이 양에서 음으로 또는 음에서 양으로 바뀌는 점을 말합니다. 이 경우 변곡점은 $(\frac{729}{64}, - \frac{885735}{4096})$ 입니다.

$(\frac{729}{64}, - \frac{885735}{4096})$

Step 8