미적분 예제

$e^{7 x}$

Step 1

$e^{7 x}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = e^{7 x}$

Step 2

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

1차 도함수를 구합니다.

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$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 7 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $7 x$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (7 x)$

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = e^{u} \frac{d}{d x} (7 x)$

$u$ 를 모두 $7 x$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = e^{7 x} \frac{d}{d x} (7 x)$

미분합니다.

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$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 x$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = e^{7 x} (7 \frac{d}{d x} (x))$

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = e^{7 x} (7 \cdot 1)$

식을 간단히 합니다.

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$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = e^{7 x} \cdot 7$

$e^{7 x}$ 의 왼쪽으로 $7$ 이동하기

$f' (x) = 7 e^{7 x}$

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $7 e^{7 x}$ 입니다.

$7 e^{7 x}$

Step 3

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $7 e^{7 x} = 0$ 을 풉니다.

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1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$7 e^{7 x} = 0$

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (7 e^{7 x}) = \ln (0)$

$\ln (0)$ 이(가) 정의되지 않으므로 방정식을 풀 수 없습니다.

정의되지 않음

$7 e^{7 x} = 0$ 에 대한 해가 없습니다.

해 없음

Step 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않았다면 원래 문제의 정의역에는 $x$ 값이 존재하지 않습니다.

임계점 없음

Step 5

도함수 $f' (x) = 7 e^{7 x}$ 가 $0$ 이 되거나 정의되지 않는 점이 없습니다. $f (x) = e^{7 x}$ 가 증가하는지 또는 감소하는지를 확인하는 구간은 $(- \infty, \infty)$ 입니다.

$(- \infty, \infty)$

Step 6

구간 $(- \infty, \infty)$ 에 속한 임의의 값, 예를 들면 $1$ 을 도함수 $f' (x) = 7 e^{7 x}$ 에 대입하여 결과가 음수인지 또는 양수인지를 확인합니다. 결과가 음수인 경우, 그래프는 $(- \infty, \infty)$ 구간에서 감소합니다. 결과가 양수인 경우, 그래프는 $(- \infty, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

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수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f' (1) = 7 e^{7 (1)}$

결과를 간단히 합니다.

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$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (1) = 7 e^{7}$

최종 답은 $7 e^{7}$ 입니다.

$7 e^{7}$

Step 7

$f' (x) = 7 e^{7 x}$ 에 $1$ 을 대입한 결과는 $7 e^{7}$ 로 양수입니다. 따라서 그래프는 $(- \infty, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$7 e^{7 x} > 0$ 이므로 $(- \infty, \infty)$ 에서 증가함

Step 8

$(- \infty, \infty)$ 구간에서 증가하면 함수는 항상 증가합니다.

항상 증가

Step 9