미적분 예제

$\ln (x^{2} + 16)$

Step 1

$\ln (x^{2} + 16)$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \ln (x^{2} + 16)$

Step 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{2} + 16$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 16$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)$

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)$

$u$ 를 모두 $x^{2} + 16$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 16} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)$

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 16} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (16))$

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 16} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (16))$

$16$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $16$ 입니다.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 16} \cdot (2 x + 0)$

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 16} \cdot (2 x)$

$2$ 와 $\frac{1}{x^{2} + 16}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{2}{x^{2} + 16} \cdot x$

$\frac{2}{x^{2} + 16}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 16}$

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2 x}{x^{2} + 16}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 16}]$ 입니다.

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + 16})$

$f (x) = x$ , $g (x) = x^{2} + 16$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 16) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 16) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

$x^{2} + 16$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (16))}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - x (2 x + \frac{d}{d x} (16))}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

$16$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $16$ 입니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - x (2 x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

$x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

$2$ 와 $\frac{- x^{2} + 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

$2$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $\frac{- 2 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ 입니다.

$\frac{- 2 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $\frac{- 2 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 16)}^{2}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$\frac{- 2 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 16)}^{2}} = 0$

분자가 0과 같게 만듭니다.

$- 2 x^{2} + 32 = 0$

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

방정식의 양변에서 $32$ 를 뺍니다.

$- 2 x^{2} = - 32$

$- 2 x^{2} = - 32$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 2 x^{2} = - 32$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나눕니다.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 32}{- 2}$

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 32}{- 2}$

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{- 32}{- 2}$

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 32$ 을 $- 2$ 로 나눕니다.

$x^{2} = 16$

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

$\pm \sqrt{16}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 4$

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 4$

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 4$

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 4, - 4$

Step 3

$f (x) = \ln (x^{2} + 16)$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\ln (x^{2} + 16)$ 의 진수를 $0$ 보다 크게 설정해야 합니다.

$x^{2} + 16 > 0$

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

부등식의 양변에서 $16$ 를 뺍니다.

$x^{2} > - 16$

좌변이 짝수의 지수를 가지므로 모든 실수에 대해 항상 양입니다.

모든 실수

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

Step 4

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Step 5

$(- \infty, - 4)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

수식에서 변수 $x$ 에 $- 6$ 을 대입합니다.

$f'' (- 6) = \frac{- 2 {(- 6)}^{2} + 32}{{({(- 6)}^{2} + 16)}^{2}}$

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 6$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 6) = \frac{- 2 \cdot 36 + 32}{{({(- 6)}^{2} + 16)}^{2}}$

$- 2$ 에 $36$ 을 곱합니다.

$f'' (- 6) = \frac{- 72 + 32}{{({(- 6)}^{2} + 16)}^{2}}$

$- 72$ 를 $32$ 에 더합니다.

$f'' (- 6) = \frac{- 40}{{({(- 6)}^{2} + 16)}^{2}}$

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 6$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 6) = \frac{- 40}{{(36 + 16)}^{2}}$

$36$ 를 $16$ 에 더합니다.

$f'' (- 6) = \frac{- 40}{52^{2}}$

$52$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 6) = \frac{- 40}{2704}$

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 40$ 및 $2704$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 40$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$f'' (- 6) = \frac{8 (- 5)}{2704}$

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$2704$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$f'' (- 6) = \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 338}$

공약수로 약분합니다.

$f'' (- 6) = \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 338}$

수식을 다시 씁니다.

$f'' (- 6) = \frac{- 5}{338}$

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (- 6) = - \frac{5}{338}$

최종 답은 $- \frac{5}{338}$ 입니다.

$- \frac{5}{338}$

$f'' (- 6)$ 이 음수이므로 그래프는 $(- \infty, - 4)$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- \infty, - 4)$ 에서 아래로 오목함

Step 6

$(- 4, 4)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f'' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} + 32}{{({(0)}^{2} + 16)}^{2}}$

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f'' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 + 32}{{(0^{2} + 16)}^{2}}$

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = \frac{0 + 32}{{(0^{2} + 16)}^{2}}$

$0$ 를 $32$ 에 더합니다.

$f'' (0) = \frac{32}{{(0^{2} + 16)}^{2}}$

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f'' (0) = \frac{32}{{(0 + 16)}^{2}}$

$0$ 를 $16$ 에 더합니다.

$f'' (0) = \frac{32}{16^{2}}$

$16$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (0) = \frac{32}{256}$

$32$ 및 $256$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$32$ 에서 $32$ 를 인수분해합니다.

$f'' (0) = \frac{32 (1)}{256}$

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$256$ 에서 $32$ 를 인수분해합니다.

$f'' (0) = \frac{32 \cdot 1}{32 \cdot 8}$

공약수로 약분합니다.

$f'' (0) = \frac{32 \cdot 1}{32 \cdot 8}$

수식을 다시 씁니다.

$f'' (0) = \frac{1}{8}$

최종 답은 $\frac{1}{8}$ 입니다.

$\frac{1}{8}$

$f'' (0)$ 이 양수이므로 그래프는 $(- 4, 4)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- 4, 4)$ 에서 위로 오목함

Step 7

$(4, \infty)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

수식에서 변수 $x$ 에 $6$ 을 대입합니다.

$f'' (6) = \frac{- 2 {(6)}^{2} + 32}{{({(6)}^{2} + 16)}^{2}}$

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$6$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (6) = \frac{- 2 \cdot 36 + 32}{{(6^{2} + 16)}^{2}}$

$- 2$ 에 $36$ 을 곱합니다.

$f'' (6) = \frac{- 72 + 32}{{(6^{2} + 16)}^{2}}$

$- 72$ 를 $32$ 에 더합니다.

$f'' (6) = \frac{- 40}{{(6^{2} + 16)}^{2}}$

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$6$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (6) = \frac{- 40}{{(36 + 16)}^{2}}$

$36$ 를 $16$ 에 더합니다.

$f'' (6) = \frac{- 40}{52^{2}}$

$52$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (6) = \frac{- 40}{2704}$

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 40$ 및 $2704$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 40$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$f'' (6) = \frac{8 (- 5)}{2704}$

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$2704$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$f'' (6) = \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 338}$

공약수로 약분합니다.

$f'' (6) = \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 338}$

수식을 다시 씁니다.

$f'' (6) = \frac{- 5}{338}$

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (6) = - \frac{5}{338}$

최종 답은 $- \frac{5}{338}$ 입니다.

$- \frac{5}{338}$

$f'' (6)$ 이 음수이므로 그래프는 $(4, \infty)$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(4, \infty)$ 에서 아래로 오목함

Step 8

2차 미분값이 음수이면 그래프는 아래로 오목하고, 2차 미분값이 양수이면 그래프는 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- \infty, - 4)$ 에서 아래로 오목함

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- 4, 4)$ 에서 위로 오목함

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(4, \infty)$ 에서 아래로 오목함

Step 9