미적분 예제

$y = 2 x$ , $y = 2 \sqrt{x}$

Step 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$2 x = 2 \sqrt{x}$

$2 x = 2 \sqrt{x}$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

근호가 방정식의 우변에 있으므로 양변의 위치를 바꿔 방정식의 좌변에 오도록 합니다.

$2 \sqrt{x} = 2 x$

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 제곱합니다.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$2 x^{\frac{1}{2}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

공약수로 약분합니다.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

수식을 다시 씁니다.

$4 x^{1} = {(2 x)}^{2}$

간단히 합니다.

$4 x = {(2 x)}^{2}$

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

${(2 x)}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$2 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$4 x = 2^{2} x^{2}$

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$4 x = 4 x^{2}$

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

방정식의 양변에서 $4 x^{2}$ 를 뺍니다.

$4 x - 4 x^{2} = 0$

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$u = x$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$4 u - 4 u^{2} = 0$

$4 u - 4 u^{2}$ 에서 $4 u$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$4 u$ 에서 $4 u$ 를 인수분해합니다.

$4 u (1) - 4 u^{2} = 0$

$- 4 u^{2}$ 에서 $4 u$ 를 인수분해합니다.

$4 u (1) + 4 u (- u) = 0$

$4 u (1) + 4 u (- u)$ 에서 $4 u$ 를 인수분해합니다.

$4 u (1 - u) = 0$

$u$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$4 x (1 - x) = 0$

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$1 - x = 0 + y = 2 \sqrt{x}$

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

$1 - x$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$1 - x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$1 - x = 0$

$1 - x = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- x = - 1$

$- x = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- x = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 1}{- 1}$

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 1$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x = 1$

$4 x (1 - x) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 1$

$x = 0$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$y = 2 \sqrt{0}$

$2 \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

괄호를 제거합니다.

$y = 2 \sqrt{0}$

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = 2 \sqrt{0^{2}}$

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = 2 \cdot 0$

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$y = 0$

$x = 1$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$x$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$y = 2 \sqrt{1}$

$2 \sqrt{1}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

괄호를 제거합니다.

$y = 2 \sqrt{1}$

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$y = 2 \cdot 1$

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = 2$

연립방정식의 해는 모든 유효한 해의 순서쌍으로 이루어진 전체 집합입니다.

$(0, 0)$

$(1, 2)$

$(0, 0)$

$(1, 2)$

Step 2

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{0}^{1} 2 \sqrt{x} d x - \int_{0}^{1} 2 x d x$

Step 3

$0$ 과(와) $1$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{0}^{1} 2 \sqrt{x} - (2 x) d x$

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int_{0}^{1} 2 \sqrt{x} - 2 x d x$

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{0}^{1} 2 \sqrt{x} d x + \int_{0}^{1} - 2 x d x$

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{1} - 2 x d x$

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$2 \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{1} - 2 x d x$

멱의 법칙에 의해 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 2 x d x$

$\frac{2}{3}$ 와 $x^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 2 x d x$

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1}) - 2 \int_{0}^{1} x d x$

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1})$

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$1$ , $0$ 일 때, $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ 값을 계산합니다.

$2 ((\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

$1$ , $0$ 일 때, $\frac{x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$2 (\frac{2 \cdot 1}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

공약수로 약분합니다.

$2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

수식을 다시 씁니다.

$2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{2}{3} - \frac{0}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

$0$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$2 (\frac{2}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$2 (\frac{2}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

공약수로 약분합니다.

$2 (\frac{2}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

수식을 다시 씁니다.

$2 (\frac{2}{3} - \frac{0}{1}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 (\frac{2}{3} - 0) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{2}{3} + 0) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

$\frac{2}{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 (\frac{2}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

$2$ 와 $\frac{2}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cdot 2}{3} - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

$0$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

공약수로 약분합니다.

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2} - 0)$

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2} + 0)$

$\frac{1}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2})$

$- 2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{3} + \frac{- 2}{2}$

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2}$

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

공약수로 약분합니다.

$\frac{4}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4}{3} + \frac{- 1}{1}$

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{4}{3} - 1$

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}$

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{4 - 3}{3}$

$4$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{3}$

Step 4