미적분 예제

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 8$

Step 1

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

합의 법칙에 의해 $x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [8]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x) + \frac{d}{d x} (8)$

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x) + \frac{d}{d x} (8)$

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x^{2}$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x) + \frac{d}{d x} (8)$

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 9 x) + \frac{d}{d x} (8)$

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} (- 9 x) + \frac{d}{d x} (8)$

$\frac{d}{d x} [- 9 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 9 x$ 의 미분은 $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (8)$

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (8)$

$- 9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9 + \frac{d}{d x} (8)$

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $8$ 입니다.

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9 + 0$

$3 x^{2} - 6 x - 9$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9$

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

합의 법칙에 의해 $3 x^{2} - 6 x - 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 9)$

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 9)$

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 9)$

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 9)$

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 6 x$ 의 미분은 $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 6 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 9)$

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 6 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 9)$

$- 6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 6 x - 6 + \frac{d}{d x} (- 9)$

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 9$ 입니다.

$f'' (x) = 6 x - 6 + 0$

$6 x - 6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 6 x - 6$

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $6 x - 6$ 입니다.

$6 x - 6$

Step 2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $6 x - 6 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$6 x - 6 = 0$

방정식의 양변에 $6$ 를 더합니다.

$6 x = 6$

$6 x = 6$ 의 각 항을 $6$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$6 x = 6$ 의 각 항을 $6$ 로 나눕니다.

$\frac{6 x}{6} = \frac{6}{6}$

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

공약수로 약분합니다.

$\frac{6 x}{6} = \frac{6}{6}$

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{6}{6}$

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$6$ 을 $6$ 로 나눕니다.

$x = 1$

Step 3

2차 도함수가 $0$ 인 점을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 8$ 에 $1$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

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수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f (1) = {(1)}^{3} - 3 {(1)}^{2} - 9 \cdot 1 + 8$

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (1) = 1 - 3 {(1)}^{2} - 9 \cdot 1 + 8$

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (1) = 1 - 3 \cdot 1 - 9 \cdot 1 + 8$

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = 1 - 3 - 9 \cdot 1 + 8$

$- 9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = 1 - 3 - 9 + 8$

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$f (1) = - 2 - 9 + 8$

$- 2$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$f (1) = - 11 + 8$

$- 11$ 를 $8$ 에 더합니다.

$f (1) = - 3$

최종 답은 $- 3$ 입니다.

$- 3$

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 8$ 에 $1$ 을 대입하여 구한 점은 $(1, - 3)$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(1, - 3)$

Step 4

$(- \infty, \infty)$ 을 변곡점 가능성이 있는 점 주위 간격으로 나눕니다.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Step 5

$(- \infty, 1)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

수식에서 변수 $x$ 에 $0.9$ 을 대입합니다.

$f'' (0.9) = 6 (0.9) - 6$

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$6$ 에 $0.9$ 을 곱합니다.

$f'' (0.9) = 5.4 - 6$

$5.4$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$f'' (0.9) = - 0.6$

최종 답은 $- 0.6$ 입니다.

$- 0.6$

$0.9$ 에서의 2차 미분값은 $- 0.6$ 입니다. 이 값이 음수이므로 2차 도함수는 $(- \infty, 1)$ 구간에서 감소합니다.

$f'' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, 1)$ 에서 감소함

Step 6

$(1, \infty)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

수식에서 변수 $x$ 에 $1.1$ 을 대입합니다.

$f'' (1.1) = 6 (1.1) - 6$

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$6$ 에 $1.1$ 을 곱합니다.

$f'' (1.1) = 6.6 - 6$

$6.6$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$f'' (1.1) = 0.6$

최종 답은 $0.6$ 입니다.

$0.6$

$1.1$ 에서의 이계도함수는 $0.6$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(1, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(1, \infty)$ 에서 증가함

Step 7

변곡점이란 곡선의 오목함이 양에서 음으로 또는 음에서 양으로 바뀌는 점을 말합니다. 이 경우 변곡점은 $(1, - 3)$ 입니다.

$(1, - 3)$

Step 8