미적분 예제

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - 4}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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1차 도함수를 구합니다.

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$f (x) = x$ , $g (x) = x^{2} - 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

미분합니다.

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$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

$x^{2} - 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

식을 간단히 합니다.

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$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

$x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 을 뺍니다.

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ 입니다.

$\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$ 을 풉니다.

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1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$

분자가 0과 같게 만듭니다.

$- x^{2} - 4 = 0$

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

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방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$- x^{2} = 4$

$- x^{2} = 4$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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$- x^{2} = 4$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

좌변을 간단히 합니다.

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두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{4}{- 1}$

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{4}{- 1}$

우변을 간단히 합니다.

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$4$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = - 4$

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

$\pm \sqrt{- 4}$ 을 간단히 합니다.

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$- 4$ 을 $- 1 (4)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

$\sqrt{- 1 (4)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm i \cdot 2$

$i$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x = \pm 2 i$

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 2 i$

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 2 i$

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 2 i, - 2 i$

단계 3

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않았다면 원래 문제의 정의역에는 $x$ 값이 존재하지 않습니다.

임계점 없음

단계 4

도함수가 정의되지 않은 위치를 찾습니다.

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식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

${(x^{2} - 4)}^{2} = 0$

$x$ 에 대해 풉니다.

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방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

${(x^{2} - 2^{2})}^{2} = 0$

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 2$ 입니다.

${((x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

$(x + 2) (x - 2)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

${(x + 2)}^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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${(x + 2)}^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

${(x - 2)}^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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${(x - 2)}^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(x - 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 2, 2$

분모가 $0$ 이거나 제곱근의 인수가 $0$ 보다 작거나 또는 로그의 진수가 $0$ 보다 작거나 같은 경우 식이 정의되지 않습니다.

$x = - 2, x = 2$

단계 5

미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

단계 6

$(- \infty, - 2)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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수식에서 변수 $x$ 에 $- 3$ 을 대입합니다.

$f' (- 3) = \frac{- {(- 3)}^{2} - 4}{{({(- 3)}^{2} - 4)}^{2}}$

결과를 간단히 합니다.

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분자를 간단히 합니다.

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$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 3) = \frac{- 1 \cdot 9 - 4}{{({(- 3)}^{2} - 4)}^{2}}$

$- 1$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f' (- 3) = \frac{- 9 - 4}{{({(- 3)}^{2} - 4)}^{2}}$

$- 9$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$f' (- 3) = \frac{- 13}{{({(- 3)}^{2} - 4)}^{2}}$

분모를 간단히 합니다.

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$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 3) = \frac{- 13}{{(9 - 4)}^{2}}$

$9$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$f' (- 3) = \frac{- 13}{5^{2}}$

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 3) = \frac{- 13}{25}$

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (- 3) = - \frac{13}{25}$

최종 답은 $- \frac{13}{25}$ 입니다.

$- \frac{13}{25}$

$x = - 3$ 에서의 도함수는 $- \frac{13}{25}$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- \infty, - 2)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, - 2)$ 에서 감소함

단계 7

$(- 2, 2)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f' (0) = \frac{- {(0)}^{2} - 4}{{({(0)}^{2} - 4)}^{2}}$

결과를 간단히 합니다.

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분자를 간단히 합니다.

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$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f' (0) = \frac{- 0 - 4}{{(0^{2} - 4)}^{2}}$

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f' (0) = \frac{0 - 4}{{(0^{2} - 4)}^{2}}$

$0$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$f' (0) = \frac{- 4}{{(0^{2} - 4)}^{2}}$

분모를 간단히 합니다.

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$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f' (0) = \frac{- 4}{{(0 - 4)}^{2}}$

$0$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$f' (0) = \frac{- 4}{{(- 4)}^{2}}$

$- 4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (0) = \frac{- 4}{16}$

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

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$- 4$ 및 $16$ 의 공약수로 약분합니다.

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$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f' (0) = \frac{4 (- 1)}{16}$

공약수로 약분합니다.

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$16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f' (0) = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 4}$

공약수로 약분합니다.

$f' (0) = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 4}$

수식을 다시 씁니다.

$f' (0) = \frac{- 1}{4}$

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (0) = - \frac{1}{4}$

최종 답은 $- \frac{1}{4}$ 입니다.

$- \frac{1}{4}$

$x = 0$ 에서의 도함수는 $- \frac{1}{4}$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- 2, 2)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- 2, 2)$ 에서 감소함

단계 8

$(2, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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수식에서 변수 $x$ 에 $3$ 을 대입합니다.

$f' (3) = \frac{- {(3)}^{2} - 4}{{({(3)}^{2} - 4)}^{2}}$

결과를 간단히 합니다.

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분자를 간단히 합니다.

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$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (3) = \frac{- 1 \cdot 9 - 4}{{(3^{2} - 4)}^{2}}$

$- 1$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f' (3) = \frac{- 9 - 4}{{(3^{2} - 4)}^{2}}$

$- 9$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$f' (3) = \frac{- 13}{{(3^{2} - 4)}^{2}}$

분모를 간단히 합니다.

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$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (3) = \frac{- 13}{{(9 - 4)}^{2}}$

$9$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$f' (3) = \frac{- 13}{5^{2}}$

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (3) = \frac{- 13}{25}$

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (3) = - \frac{13}{25}$

최종 답은 $- \frac{13}{25}$ 입니다.

$- \frac{13}{25}$

$x = 3$ 에서의 도함수는 $- \frac{13}{25}$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(2, \infty)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(2, \infty)$ 에서 감소함

단계 9

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

다음 구간에서 감소: $(- \infty, - 2), (- 2, 2), (2, \infty)$

단계 10