미적분 예제

$f (x) = \arctan (x)$

Step 1

1차 도함수를 구합니다.

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$\arctan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 입니다.

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$

Step 2

2차 도함수를 구합니다

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$\frac{1}{x^{2} + 1}$ 을 ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{- 1})$

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

$u$ 를 모두 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

미분합니다.

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합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))$

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (1))$

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

식을 간단히 합니다.

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$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 2 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

간단히 합니다.

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음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = - 2 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

항을 묶습니다.

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$- 2$ 와 $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{- 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = - \frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

$x$ 와 $\frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = - \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f'' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Step 3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 입니다.

$- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$