미적분 예제

$f (x) = \frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (x) = 1 - \cos (x)$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} (1 - \cos (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 - \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{\sin (x) (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 1.2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$f' (x) = \frac{\sin (x) (0 + \frac{d}{d x} (- \cos (x))) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 1.2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} (- \cos (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 1.2.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \cos (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 입니다.

$f' (x) = \frac{\sin (x) (- \frac{d}{d x} \cos (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 1.3

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$f' (x) = \frac{\sin (x) (\sin (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 1.4

곱합니다.

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단계 1.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{\sin (x) (1 \sin (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 1.4.2

$\sin (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{\sin (x) \sin (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 1.5

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = \frac{\sin (x) \sin (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 1.6

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = \frac{\sin (x) \sin (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 1.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = \frac{{\sin (x)}^{1 + 1} - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 1.8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 1.9

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - (1 - \cos (x)) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 1.10

간단히 합니다.

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단계 1.10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) + (- 1 \cdot 1 + \cos (x)) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 1.10.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 1 \cdot (1 \cos (x)) + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 1.10.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.10.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.10.3.1.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 1 \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 1.10.3.1.2

$- 1 \cos (x)$ 을 $- \cos (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 1.10.3.1.3

$- - \cos (x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.10.3.1.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 1.10.3.1.3.2

$\cos (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 1.10.3.1.4

$\cos (x) \cos (x)$ 을 곱합니다.

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단계 1.10.3.1.4.1

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 1.10.3.1.4.2

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 1.10.3.1.4.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}$

단계 1.10.3.1.4.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 1.10.3.2

$\cos^{2} (x)$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 1.10.3.3

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$f' (x) = \frac{1 - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

$f (x) = 1 - \cos (x)$ , $g (x) = \sin^{2} (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (1 - \cos (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{{(\sin^{2} (x))}^{2}}$

단계 2.2

미분합니다.

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단계 2.2.1

${(\sin^{2} (x))}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (1 - \cos (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{{\sin (x)}^{2 \cdot 2}}$

단계 2.2.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (1 - \cos (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

단계 2.2.2

합의 법칙에 의해 $1 - \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

단계 2.2.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) (0 + \frac{d}{d x} (- \cos (x))) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

단계 2.2.4

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (- \cos (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

단계 2.2.5

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \cos (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) (- \frac{d}{d x} \cos (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

단계 2.3

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) (\sin (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

단계 2.4

곱합니다.

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단계 2.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) (1 \sin (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

단계 2.4.2

$\sin (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) \sin (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

단계 2.5

지수를 더하여 $\sin^{2} (x)$ 에 $\sin (x)$ 을 곱합니다.

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단계 2.5.1

$\sin^{2} (x)$ 에 $\sin (x)$ 을 곱합니다.

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단계 2.5.1.1

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) \sin (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

단계 2.5.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{{\sin (x)}^{2 + 1} - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

단계 2.5.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{\sin^{3} (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

단계 2.6

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{\sin^{3} (x) - (1 - \cos (x)) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))}{\sin^{4} (x)}$

단계 2.6.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{\sin^{3} (x) - (1 - \cos (x)) (2 u \frac{d}{d x} (\sin (x)))}{\sin^{4} (x)}$

단계 2.6.3

$u$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{\sin^{3} (x) - (1 - \cos (x)) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))}{\sin^{4} (x)}$

단계 2.7

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{\sin^{3} (x) - 2 (1 - \cos (x)) (\sin (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))}{\sin^{4} (x)}$

단계 2.7.2

$\sin^{3} (x) - 2 (1 - \cos (x)) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.7.2.1

$\sin^{3} (x)$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{\sin (x) \sin^{2} (x) - 2 (1 - \cos (x)) \sin (x) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{4} (x)}$

단계 2.7.2.2

$- 2 (1 - \cos (x)) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{\sin (x) \sin^{2} (x) + \sin (x) (- 2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x))}{\sin^{4} (x)}$

단계 2.7.2.3

$\sin (x) \sin^{2} (x) + \sin (x) (- 2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{\sin (x) (\sin^{2} (x) - 2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x))}{\sin^{4} (x)}$

단계 2.8

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.1

$\sin^{4} (x)$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{\sin (x) (\sin^{2} (x) - 2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x))}{\sin (x) \sin^{3} (x)}$

단계 2.8.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = \frac{\sin (x) (\sin^{2} (x) - 2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x))}{\sin (x) \sin^{3} (x)}$

단계 2.8.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{3} (x)}$

단계 2.9

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 2 (1 - \cos (x)) \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$

단계 2.10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) + (- 2 \cdot 1 - 2 (- \cos (x))) \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$

단계 2.10.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 2 \cdot (1 \cos (x)) - 2 (- \cos (x)) \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$

단계 2.10.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.10.3.1

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) - 2 (- \cos (x)) \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$

단계 2.10.3.2

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$

단계 2.10.3.3

$2 \cos (x) \cos (x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.10.3.3.1

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) + 2 (\cos (x) \cos (x))}{\sin^{3} (x)}$

단계 2.10.3.3.2

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) + 2 (\cos (x) \cos (x))}{\sin^{3} (x)}$

단계 2.10.3.3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) + 2 {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{3} (x)}$

단계 2.10.3.3.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) + 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{3} (x)}$

단계 3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $\frac{\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) + 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{3} (x)}$ 입니다.

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) + 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{3} (x)}$