미적분 예제

$x - \ln (x)$

Step 1

$x - \ln (x)$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = x - \ln (x)$

Step 2

2차 도함수를 구합니다

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1차 도함수를 구합니다.

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미분합니다.

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합의 법칙에 의해 $x - \ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \ln (x))$

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- \ln (x))$

$\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 의 값을 구합니다.

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$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \ln (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 입니다.

$f' (x) = 1 - \frac{d}{d x} \ln (x)$

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$f' (x) = 1 - \frac{1}{x}$

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = - \frac{1}{x} + 1$

2차 도함수를 구합니다

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합의 법칙에 의해 $- \frac{1}{x} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (1)$

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ 의 값을 구합니다.

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$f (x) = - 1$ , $g (x) = \frac{1}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} x^{- 1} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

$x^{- 2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

$\frac{1}{x}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} (1)$

$x^{- 2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{d}{d x} (1)$

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$f'' (x) = x^{- 2} + 0$

간단히 합니다.

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음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 0$

$\frac{1}{x^{2}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}}$

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $\frac{1}{x^{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{x^{2}}$

Step 3

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $\frac{1}{x^{2}} = 0$ 을 풉니다.

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2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$\frac{1}{x^{2}} = 0$

분자가 0과 같게 만듭니다.

$1 = 0$

$1 \neq 0$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

Step 4

2차 미분값을 $0$ 이 되게 할 수 있는 값이 없습니다.

변곡점 없음