미적분 예제

$2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$

Step 1

$2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ 을 함수로 씁니다.

$f (θ) = 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$

Step 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

합의 법칙에 의해 $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ 를 $θ$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ 가 됩니다.

$f' (θ) = \frac{d}{d θ} (2 \cos (θ)) + \frac{d}{d θ} (\cos^{2} (θ))$

$\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$2$ 은 $θ$ 에 대해 일정하므로 $θ$ 에 대한 $2 \cos (θ)$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ 입니다.

$f' (θ) = 2 \frac{d}{d θ} (\cos (θ)) + \frac{d}{d θ} (\cos^{2} (θ))$

$\cos (θ)$ 를 $θ$ 에 대해 미분하면 $- \sin (θ)$ 입니다.

$f' (θ) = 2 (- \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} (\cos^{2} (θ))$

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (θ) = - 2 \sin (θ) + \frac{d}{d θ} (\cos^{2} (θ))$

$\frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$f (θ) = θ^{2}$ , $g (θ) = \cos (θ)$ 일 때 $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ 는 $f' (g (θ)) g' (θ)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\cos (θ)$ 로 바꿉니다.

$f' (θ) = - 2 \sin (θ) + \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d θ} (\cos (θ))$

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (θ) = - 2 \sin (θ) + 2 u \frac{d}{d θ} (\cos (θ))$

$u$ 를 모두 $\cos (θ)$ 로 바꿉니다.

$f' (θ) = - 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) \frac{d}{d θ} (\cos (θ))$

$\cos (θ)$ 를 $θ$ 에 대해 미분하면 $- \sin (θ)$ 입니다.

$f' (θ) = - 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) (- \sin (θ))$

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (θ) = - 2 \sin (θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

항을 다시 정렬합니다.

$f' (θ) = - 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

합의 법칙에 의해 $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ 를 $θ$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d θ} [- 2 \cos (θ) \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$ 가 됩니다.

$f'' (θ) = \frac{d}{d θ} (- 2 \cos (θ) \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

$\frac{d}{d θ} [- 2 \cos (θ) \sin (θ)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 2$ 은 $θ$ 에 대해 일정하므로 $θ$ 에 대한 $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ) \sin (θ)]$ 입니다.

$f'' (θ) = - 2 \frac{d}{d θ} (\cos (θ) \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

$f (θ) = \cos (θ)$ , $g (θ) = \sin (θ)$ 일 때 $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ 는 $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \frac{d}{d θ} (\sin (θ)) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} (\cos (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

$\sin (θ)$ 를 $θ$ 에 대해 미분하면 $\cos (θ)$ 입니다.

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} (\cos (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

$\cos (θ)$ 를 $θ$ 에 대해 미분하면 $- \sin (θ)$ 입니다.

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

$\cos (θ)$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

$\cos (θ)$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (θ) = - 2 ({\cos (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

$\sin (θ)$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - (\sin (θ) \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

$\sin (θ)$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - (\sin (θ) \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - {\sin (θ)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

$\frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 2$ 은 $θ$ 에 대해 일정하므로 $θ$ 에 대한 $- 2 \sin (θ)$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ 입니다.

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) - 2 \frac{d}{d θ} \sin (θ)$

$\sin (θ)$ 를 $θ$ 에 대해 미분하면 $\cos (θ)$ 입니다.

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) - 2 \cos (θ)$

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (θ) = - 2 \cos^{2} (θ) - 2 (- \sin^{2} (θ)) - 2 \cos (θ)$

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (θ) = - 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ)$

$f (θ)$ 의 $θ$ 에 대한 2차 도함수는 $- 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ)$ 입니다.

$- 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ)$

Step 3

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $- 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ) = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$- 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ) = 0$

방정식의 각 변을 그립니다. 해는 교점의 x값입니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $θ = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$

Step 4

2차 도함수가 $0$ 인 점을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$f (θ) = 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ 에 $\frac{π}{3}$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

수식에서 변수 $θ$ 에 $\frac{π}{3}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (\frac{π}{3}) + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$\cos (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{1}{2}$ 입니다.

$f (\frac{π}{3}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{π}{3}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

$\cos (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{1}{2}$ 입니다.

$f (\frac{π}{3}) = 1 + {(\frac{1}{2})}^{2}$

$\frac{1}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \frac{1^{2}}{2^{2}}$

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \frac{1}{2^{2}}$

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \frac{1}{4}$

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{4 + 1}{4}$

$4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{5}{4}$

최종 답은 $\frac{5}{4}$ 입니다.

$\frac{5}{4}$

$f (θ) = 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ 에 $\frac{π}{3}$ 을 대입하여 구한 점은 $(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$

Step 5

$(- \infty, \infty)$ 을 변곡점 가능성이 있는 점 주위 간격으로 나눕니다.

$(- \infty, \frac{π}{3}) \cup (\frac{π}{3}, \infty)$

Step 6

$(- \infty, \frac{π}{3})$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

수식에서 변수 $θ$ 에 $0.94719755$ 을 대입합니다.

$f'' (0.94719755) = - 2 \cos^{2} (0.94719755) + 2 \sin^{2} (0.94719755) - 2 \cos (0.94719755)$

최종 답은 $- 2 \cos^{2} (0.94719755) + 2 \sin^{2} (0.94719755) - 2 \cos (0.94719755)$ 입니다.

$- 2 \cos^{2} (0.94719755) + 2 \sin^{2} (0.94719755) - 2 \cos (0.94719755)$

$0.94719755$ 에서의 2차 미분값은 $- 0.53195951$ 입니다. 이 값이 음수이므로 2차 도함수는 $(- \infty, \frac{π}{3})$ 구간에서 감소합니다.

$f'' (θ) < 0$ 이므로 $(- \infty, \frac{π}{3})$ 에서 감소함

Step 7

$(\frac{π}{3}, \infty)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

수식에서 변수 $θ$ 에 $1.14719755$ 을 대입합니다.

$f'' (1.14719755) = - 2 \cos^{2} (1.14719755) + 2 \sin^{2} (1.14719755) - 2 \cos (1.14719755)$

최종 답은 $- 2 \cos^{2} (1.14719755) + 2 \sin^{2} (1.14719755) - 2 \cos (1.14719755)$ 입니다.

$- 2 \cos^{2} (1.14719755) + 2 \sin^{2} (1.14719755) - 2 \cos (1.14719755)$

$1.14719755$ 에서의 이계도함수는 $0.50208433$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(\frac{π}{3}, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (θ) > 0$ 이므로 $(\frac{π}{3}, \infty)$ 에서 증가함

Step 8

변곡점이란 곡선의 오목함이 양에서 음으로 또는 음에서 양으로 바뀌는 점을 말합니다. 이 경우 변곡점은 $(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$ 입니다.

$(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$

Step 9