미적분 예제

$x^{2} \ln (x)$

Step 1

$x^{2} \ln (x)$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

Step 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

공약수로 약분합니다.

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

수식을 다시 씁니다.

$f' (x) = \frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f' (x) = x + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x + \ln (x) (2 x)$

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

합의 법칙에 의해 $2 x \ln (x) + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

$\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x \ln (x)$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ 입니다.

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

$f (x) = x$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

$x$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

$\ln (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + 1$

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + 2 \ln (x) + 1$

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 2 + 2 \ln (x) + 1$

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 2 \ln (x) + 3$

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $2 \ln (x) + 3$ 입니다.

$2 \ln (x) + 3$

Step 3

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $2 \ln (x) + 3 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$2 \ln (x) + 3 = 0$

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$2 \ln (x) = - 3$

$2 \ln (x) = - 3$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$2 \ln (x) = - 3$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

$\ln (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (x) = \frac{- 3}{2}$

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\ln (x) = - \frac{3}{2}$

$x$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{3}{2}}$

로그의 정의를 이용하여 $\ln (x) = - \frac{3}{2}$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{- \frac{3}{2}} = x$

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$x = e^{- \frac{3}{2}}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$x = e^{- \frac{3}{2}}$

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$x = \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

Step 4

2차 도함수가 $0$ 인 점을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$f (x) = x^{2} \ln (x)$ 에 $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = {(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1^{2}}{{(e^{\frac{3}{2}})}^{2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{{(e^{\frac{3}{2}})}^{2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

${(e^{\frac{3}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{\frac{3}{2} \cdot 2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{\frac{3}{2} \cdot 2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $e^{\frac{3}{2}}$ 를 분자로 이동합니다.

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot \ln (e^{- \frac{3}{2}})$

$- \frac{3}{2}$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{- \frac{3}{2}})$ 을 전개합니다.

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot \ln (e))$

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot 1)$

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2})$

$\frac{1}{e^{3}}$ 에 $\frac{3}{2}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{3}{e^{3} \cdot 2}$

$e^{3}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{3}{2 e^{3}}$

최종 답은 $- \frac{3}{2 e^{3}}$ 입니다.

$- \frac{3}{2 e^{3}}$

$f (x) = x^{2} \ln (x)$ 에 $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ 을 대입하여 구한 점은 $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{3}{2 e^{3}})$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{3}{2 e^{3}})$

Step 5

$(- \infty, \infty)$ 을 변곡점 가능성이 있는 점 주위 간격으로 나눕니다.

$(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$

Step 6

$(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

수식에서 변수 $x$ 에 $0.12313016$ 을 대입합니다.

$f'' (0.12313016) = 2 \ln (0.12313016) + 3$

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \ln (0.12313016)$ 을 간단히 합니다.

$f'' (0.12313016) = \ln ({0.12313016}^{2}) + 3$

$0.12313016$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (0.12313016) = \ln (0.01516103) + 3$

최종 답은 $\ln (0.01516103) + 3$ 입니다.

$\ln (0.01516103) + 3$

$0.12313016$ 에서의 2차 미분값은 $- 1.18902654$ 입니다. 이 값이 음수이므로 2차 도함수는 $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ 구간에서 감소합니다.

$f'' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ 에서 감소함

Step 7

$(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

수식에서 변수 $x$ 에 $0.32313016$ 을 대입합니다.

$f'' (0.32313016) = 2 \ln (0.32313016) + 3$

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \ln (0.32313016)$ 을 간단히 합니다.

$f'' (0.32313016) = \ln ({0.32313016}^{2}) + 3$

$0.32313016$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (0.32313016) = \ln (0.1044131) + 3$

최종 답은 $\ln (0.1044131) + 3$ 입니다.

$\ln (0.1044131) + 3$

$0.32313016$ 에서의 이계도함수는 $0.74059987$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ 에서 증가함

Step 8

변곡점이란 곡선의 오목함이 양에서 음으로 또는 음에서 양으로 바뀌는 점을 말합니다. 이 경우 변곡점은 $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{3}{2 e^{3}})$ 입니다.

$(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{3}{2 e^{3}})$

Step 9