미적분 예제

$f (x) = \sin (\frac{x}{2})$

Step 1

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = \frac{x}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x}{2}$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$f' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

$u$ 를 모두 $\frac{x}{2}$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = \cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = \cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

$\frac{1}{2}$ 와 $\cos (\frac{x}{2})$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (\frac{x}{2}))$

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = \frac{x}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x}{2}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2}))$

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

$u$ 를 모두 $\frac{x}{2}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$\frac{1}{2}$ 와 $\sin (\frac{x}{2})$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x}{2}$

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

분수를 통분합니다.

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$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 2} \cdot \frac{d}{d x} x$

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot \frac{d}{d x} x$

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot 1$

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$ 입니다.

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

Step 2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} = 0$ 을 풉니다.

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2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} = 0$

분자가 0과 같게 만듭니다.

$\sin (\frac{x}{2}) = 0$

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

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사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$\frac{x}{2} = \arcsin (0)$

우변을 간단히 합니다.

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$\arcsin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{x}{2} = 0$

분자가 0과 같게 만듭니다.

$x = 0$

사인 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$\frac{x}{2} = π - 0$

$x$ 에 대해 풉니다.

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방정식의 양변에 $2$ 을 곱합니다.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

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좌변을 간단히 합니다.

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$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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공약수로 약분합니다.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

수식을 다시 씁니다.

$x = 2 (π - 0)$

우변을 간단히 합니다.

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$π$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$x = 2 π$

$\sin (\frac{x}{2})$ 주기를 구합니다.

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함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

주기 공식에서 $b$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

$\frac{1}{2}$ 은 약 $0.5$ 로 양수이므로 절댓값 기호를 없앱니다.

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$2 π \cdot 2$

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 π$

함수 $\sin (\frac{x}{2})$ 의 주기는 $4 π$ 이므로 양 방향으로 $4 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 4 π n, 2 π + 4 π n$

답안을 하나로 합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 2 π n$

Step 3

$f (x) = \sin (\frac{x}{2})$ 에 을 대입하여 구한 점은 $(,)$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(,)$

Step 4

$(- \infty, \infty)$ 을 변곡점 가능성이 있는 점 주위 간격으로 나눕니다.

$(- \infty,) \cup (, \infty)$

Step 5

$(- \infty,)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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수식에서 변수 $x$ 에 $- 0.1$ 을 대입합니다.

$f'' (- 0.1) = - \frac{\sin (\frac{- 0.1}{2})}{4}$

결과를 간단히 합니다.

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분자를 간단히 합니다.

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$- 0.1$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$f'' (- 0.1) = - \frac{\sin (- 0.05)}{4}$

$\sin (- 0.05)$ 의 값을 구합니다.

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 0.04997916}{4}$

식을 간단히 합니다.

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$- 0.04997916$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$f'' (- 0.1) = 0.01249479$

$- 1$ 에 $- 0.01249479$ 을 곱합니다.

$f'' (- 0.1) = 0.01249479$

최종 답은 $0.01249479$ 입니다.

$0.01249479$

$- 0.1$ 에서의 이계도함수는 $0.01249479$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(- \infty,)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(- \infty,)$ 에서 증가함

Step 6

$(, \infty)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

수식에서 변수 $x$ 에 $0.1$ 을 대입합니다.

$f'' (0.1) = - \frac{\sin (\frac{0.1}{2})}{4}$

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$0.1$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$f'' (0.1) = - \frac{\sin (0.05)}{4}$

$\sin (0.05)$ 의 값을 구합니다.

$f'' (0.1) = - \frac{0.04997916}{4}$

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$0.04997916$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$f'' (0.1) = - 1 \cdot 0.01249479$

$- 1$ 에 $0.01249479$ 을 곱합니다.

$f'' (0.1) = - 0.01249479$

최종 답은 $- 0.01249479$ 입니다.

$- 0.01249479$

$0.1$ 에서의 2차 미분값은 $- 0.01249479$ 입니다. 이 값이 음수이므로 2차 도함수는 $(, \infty)$ 구간에서 감소합니다.

$f'' (x) < 0$ 이므로 $(, \infty)$ 에서 감소함

Step 7

변곡점이란 곡선의 오목함이 양에서 음으로 또는 음에서 양으로 바뀌는 점을 말합니다. 이 경우 변곡점은 $(,)$ 입니다.

$(,)$

Step 8