미적분 예제

$\cos (x y) = 2 + \sin (y)$

Step 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (\cos (x y)) = \frac{d}{d x} (2 + \sin (y))$

Step 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = x y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x y]$

$u$ 를 모두 $x y$ 로 바꿉니다.

$- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

$f (x) = x$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \sin (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$- \sin (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \sin (x y) (x y' + y \cdot 1)$

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \sin (x y) (x y' + y)$

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

분배 법칙을 적용합니다.

$- \sin (x y) (x y') - \sin (x y) y$

항을 다시 정렬합니다.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$

Step 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

합의 법칙에 의해 $2 + \sin (y)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

$\frac{d}{d x} [\sin (y)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$0 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]$

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$0 + \cos (u) \frac{d}{d x} [y]$

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$0 + \cos (y) \frac{d}{d x} [y]$

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$0 + \cos (y) y'$

$0$ 를 $\cos (y) y'$ 에 더합니다.

$\cos (y) y'$

Step 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y) = \cos (y) y'$

Step 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) = \cos (y) y'$

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$\cos (y) y'$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) = y' \cos (y)$

방정식의 양변에서 $y' \cos (y)$ 를 뺍니다.

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) - y' \cos (y) = 0$

방정식의 양변에 $y \sin (x y)$ 를 더합니다.

$- x y' \sin (x y) - y' \cos (y) = y \sin (x y)$

$- x y' \sin (x y) - y' \cos (y)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- x y' \sin (x y)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (- x \sin (x y)) - y' \cos (y) = y \sin (x y)$

$- y' \cos (y)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (- x \sin (x y)) + y' (- 1 \cos (y)) = y \sin (x y)$

$y' (- x \sin (x y)) + y' (- 1 \cos (y))$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (- x \sin (x y) - 1 \cos (y)) = y \sin (x y)$

$- 1 \cos (y)$ 을 $- \cos (y)$ 로 바꿔 씁니다.

$y' (- x \sin (x y) - \cos (y)) = y \sin (x y)$

$y' (- x \sin (x y) - \cos (y)) = y \sin (x y)$ 의 각 항을 $- x \sin (x y) - \cos (y)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$y' (- x \sin (x y) - \cos (y)) = y \sin (x y)$ 의 각 항을 $- x \sin (x y) - \cos (y)$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (- x \sin (x y) - \cos (y))}{- x \sin (x y) - \cos (y)} = \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - \cos (y)}$

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- x \sin (x y) - \cos (y)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (- x \sin (x y) - \cos (y))}{- x \sin (x y) - \cos (y)} = \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - \cos (y)}$

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - \cos (y)}$

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- x \sin (x y)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- (x \sin (x y)) - \cos (y)}$

$- \cos (y)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- (x \sin (x y)) - (\cos (y))}$

$- (x \sin (x y)) - (\cos (y))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- (x \sin (x y) + \cos (y))}$

음수 부분을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- (x \sin (x y) + \cos (y))$ 을 $- 1 (x \sin (x y) + \cos (y))$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- 1 (x \sin (x y) + \cos (y))}$

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{y \sin (x y)}{x \sin (x y) + \cos (y)}$

Step 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \sin (x y)}{x \sin (x y) + \cos (y)}$