미적분 예제

$f (x) = \frac{x^{4} - 5 x^{2} + 4}{x^{4} - 24 x^{2} + 108}$

단계 1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x^{4} - 5 x^{2} + 4}{x^{4} - 24 x^{2} + 108}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{4} - 24 x^{2} + 108 = 0$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

방정식에 $u = x^{2}$ 를 대입합니다. 이렇게 하면 근의 공식을 쉽게 사용할 수 있습니다.

$u^{2} - 24 u + 108 = 0$

$u = x^{2}$

단계 2.2

AC 방법을 이용하여 $u^{2} - 24 u + 108$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.2.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $108$ 이고 합은 $- 24$ 입니다.

$- 18, - 6$

단계 2.2.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(u - 18) (u - 6) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$u - 18 = 0$

$u - 6 = 0$

단계 2.4

$u - 18$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $u$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.4.1

$u - 18$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$u - 18 = 0$

단계 2.4.2

방정식의 양변에 $18$ 를 더합니다.

$u = 18$

단계 2.5

$u - 6$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $u$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.5.1

$u - 6$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$u - 6 = 0$

단계 2.5.2

방정식의 양변에 $6$ 를 더합니다.

$u = 6$

단계 2.6

$(u - 18) (u - 6) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$u = 18, 6$

단계 2.7

풀어진 방정식에 $u = x^{2}$ 에 해당하는 값을 대입합니다.

$x^{2} = 18$

${(x^{2})}^{1} = 6$

단계 2.8

첫 번째 방정식을 $x$ 에 대해 풉니다.

$x^{2} = 18$

단계 2.9

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{18}$

단계 2.9.2

$\pm \sqrt{18}$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.9.2.1

$18$ 을 $3^{2} \cdot 2$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 2.9.2.1.1

$18$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$x = \pm \sqrt{9 (2)}$

단계 2.9.2.1.2

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

단계 2.9.2.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 3 \sqrt{2}$

단계 2.9.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 3 \sqrt{2}$

단계 2.9.3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 3 \sqrt{2}$

단계 2.9.3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 3 \sqrt{2}, - 3 \sqrt{2}$

단계 2.10

두 번째 방정식을 $x$ 에 대해 풉니다.

${(x^{2})}^{1} = 6$

단계 2.11

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.11.1

괄호를 제거합니다.

$x^{2} = 6$

단계 2.11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{6}$

단계 2.11.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.11.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \sqrt{6}$

단계 2.11.3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \sqrt{6}$

단계 2.11.3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

단계 2.12

$x^{4} - 24 x^{2} + 108 = 0$ 의 해는 $x = 3 \sqrt{2}, - 3 \sqrt{2}, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$ 입니다.

$x = 3 \sqrt{2}, - 3 \sqrt{2}, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

단계 3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, - 3 \sqrt{2}) \cup (- 3 \sqrt{2}, - \sqrt{6}) \cup (- \sqrt{6}, \sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, 3 \sqrt{2}) \cup (3 \sqrt{2}, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq \sqrt{6}, - \sqrt{6}, 3 \sqrt{2}, - 3 \sqrt{2}}$

단계 4

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$(- \infty, - 1.39979505] \cup [- 0.04464939, \frac{1}{27}] \cup (1, \infty)$

조건제시법:

${y | y \leq - 1.39979505, - 0.04464939 \leq y \leq \frac{1}{27}, y > 1}$

단계 5

정의역과 치역을 구합니다.

정의역: $(- \infty, - 3 \sqrt{2}) \cup (- 3 \sqrt{2}, - \sqrt{6}) \cup (- \sqrt{6}, \sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, 3 \sqrt{2}) \cup (3 \sqrt{2}, \infty), {x | x \neq \sqrt{6}, - \sqrt{6}, 3 \sqrt{2}, - 3 \sqrt{2}}$

치역: $(- \infty, - 1.39979505] \cup [- 0.04464939, \frac{1}{27}] \cup (1, \infty), {y | y \leq - 1.39979505, - 0.04464939 \leq y \leq \frac{1}{27}, y > 1}$

단계 6