미적분 예제

$f (x) = x^{4} - 50 x^{2}$

Step 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

합의 법칙에 의해 $x^{4} - 50 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 50 x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 50 x^{2}]$

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 50 x^{2}]$

$\frac{d}{d x} [- 50 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 50$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 50 x^{2}$ 의 미분은 $- 50 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$4 x^{3} - 50 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} - 50 (2 x)$

$2$ 에 $- 50$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} - 100 x$

Step 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

합의 법칙에 의해 $4 x^{3} - 100 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 100 x]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 100 x)$

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 100 x)$

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 100 x)$

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 100 x)$

$\frac{d}{d x} [- 100 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 100$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 100 x$ 의 미분은 $- 100 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 100 \frac{d}{d x} x$

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 100 \cdot 1$

$- 100$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 100$

Step 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$4 x^{3} - 100 x = 0$

Step 4

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

합의 법칙에 의해 $x^{4} - 50 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 50 x^{2}]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 50 x^{2})$

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 50 x^{2})$

$\frac{d}{d x} [- 50 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 50$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 50 x^{2}$ 의 미분은 $- 50 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 50 \frac{d}{d x} x^{2}$

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 50 (2 x)$

$2$ 에 $- 50$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 100 x$

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $4 x^{3} - 100 x$ 입니다.

$4 x^{3} - 100 x$

Step 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $4 x^{3} - 100 x = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$4 x^{3} - 100 x = 0$

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$4 x^{3} - 100 x$ 에서 $4 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$4 x^{3}$ 에서 $4 x$ 를 인수분해합니다.

$4 x (x^{2}) - 100 x = 0$

$- 100 x$ 에서 $4 x$ 를 인수분해합니다.

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 25) = 0$

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 25)$ 에서 $4 x$ 를 인수분해합니다.

$4 x (x^{2} - 25) = 0$

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$4 x (x^{2} - 5^{2}) = 0$

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 5$ 입니다.

$4 x ((x + 5) (x - 5)) = 0$

불필요한 괄호를 제거합니다.

$4 x (x + 5) (x - 5) = 0$

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

$x + 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$x + 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 5 = 0$

방정식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$x = - 5$

$x - 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$x - 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 5 = 0$

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$x = 5$

$4 x (x + 5) (x - 5) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, - 5, 5$

Step 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

Step 7

계산할 임계점.

$x = 0, - 5, 5$

Step 8

$x = 0$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$12 {(0)}^{2} - 100$

Step 9

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$12 \cdot 0 - 100$

$12$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 - 100$

$0$ 에서 $100$ 을 뺍니다.

$- 100$

Step 10

이계도함수가 음수이므로 $x = 0$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 0$ 은 극대값입니다

Step 11

$x = 0$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = {(0)}^{4} - 50 {(0)}^{2}$

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 0 - 50 {(0)}^{2}$

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 0 - 50 \cdot 0$

$- 50$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 + 0$

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = 0$

최종 답은 $0$ 입니다.

$y = 0$

Step 12

$x = - 5$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$12 {(- 5)}^{2} - 100$

Step 13

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 5$ 를 $2$ 승 합니다.

$12 \cdot 25 - 100$

$12$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$300 - 100$

$300$ 에서 $100$ 을 뺍니다.

$200$

Step 14

이계도함수가 양수이므로 $x = - 5$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = - 5$ 은 극소값입니다.

Step 15

$x = - 5$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

수식에서 변수 $x$ 에 $- 5$ 을 대입합니다.

$f (- 5) = {(- 5)}^{4} - 50 {(- 5)}^{2}$

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 5$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (- 5) = 625 - 50 {(- 5)}^{2}$

$- 5$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- 5) = 625 - 50 \cdot 25$

$- 50$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$f (- 5) = 625 - 1250$

$625$ 에서 $1250$ 을 뺍니다.

$f (- 5) = - 625$

최종 답은 $- 625$ 입니다.

$y = - 625$

Step 16

$x = 5$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$12 {(5)}^{2} - 100$

Step 17

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$12 \cdot 25 - 100$

$12$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$300 - 100$

$300$ 에서 $100$ 을 뺍니다.

$200$

Step 18

이계도함수가 양수이므로 $x = 5$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 5$ 은 극소값입니다.

Step 19

$x = 5$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

수식에서 변수 $x$ 에 $5$ 을 대입합니다.

$f (5) = {(5)}^{4} - 50 {(5)}^{2}$

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$5$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (5) = 625 - 50 {(5)}^{2}$

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (5) = 625 - 50 \cdot 25$

$- 50$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$f (5) = 625 - 1250$

$625$ 에서 $1250$ 을 뺍니다.

$f (5) = - 625$

최종 답은 $- 625$ 입니다.

$y = - 625$

Step 20

$f (x) = x^{4} - 50 x^{2}$ 에 대한 극값입니다.

$(0, 0)$ 은 극댓값임

$(- 5, - 625)$ 은 극솟값임

$(5, - 625)$ 은 극솟값임

Step 21