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미적분 예제
Step 1
미분합니다.
합의 법칙에 의해 를 에 대해 미분하면 가 됩니다.
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
의 값을 구합니다.
은 에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
에 을 곱합니다.
의 값을 구합니다.
은 에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
에 을 곱합니다.
Step 2
합의 법칙에 의해 를 에 대해 미분하면 가 됩니다.
의 값을 구합니다.
은 에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
에 을 곱합니다.
의 값을 구합니다.
은 에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
에 을 곱합니다.
상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.
이 에 대해 일정하므로, 를 에 대해 미분하면 입니다.
를 에 더합니다.
Step 3
함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 으로 두고 식을 풉니다.
Step 4
1차 도함수를 구합니다.
미분합니다.
합의 법칙에 의해 를 에 대해 미분하면 가 됩니다.
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
의 값을 구합니다.
은 에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
에 을 곱합니다.
의 값을 구합니다.
은 에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
에 을 곱합니다.
의 에 대한 1차 도함수는 입니다.
Step 5
1차 도함수가 이 되게 합니다.
유리근 정리르 이용하여 를 인수분해합니다.
다항함수의 계수가 정수인 경우, 가 상수의 약수이며 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 의 형태를 가집니다.
의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.
을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 이므로 은 다항식의 근입니다.
을 다항식에 대입합니다.
를 승 합니다.
에 을 곱합니다.
를 승 합니다.
에 을 곱합니다.
에서 을 뺍니다.
를 에 더합니다.
는 알고 있는 해이므로 다항식을 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.
을 로 나눕니다.
다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 인 항을 삽입합니다.
| - | - | + | + |
피제수 의 고차항을 제수 의 고차항으로 나눕니다.
| - | - | + | + |
새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.
| - | - | + | + | ||||||||
| + | - |
식을 피제수에서 빼야 하므로 의 모든 부호를 바꿉니다.
| - | - | + | + | ||||||||
| - | + |
부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.
| - | - | + | + | ||||||||
| - | + | ||||||||||
| - |
원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.
| - | - | + | + | ||||||||
| - | + | ||||||||||
| - | + |
피제수 의 고차항을 제수 의 고차항으로 나눕니다.
| - | |||||||||||
| - | - | + | + | ||||||||
| - | + | ||||||||||
| - | + |
새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.
| - | |||||||||||
| - | - | + | + | ||||||||
| - | + | ||||||||||
| - | + | ||||||||||
| - | + |
식을 피제수에서 빼야 하므로 의 모든 부호를 바꿉니다.
| - | |||||||||||
| - | - | + | + | ||||||||
| - | + | ||||||||||
| - | + | ||||||||||
| + | - |
부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.
| - | |||||||||||
| - | - | + | + | ||||||||
| - | + | ||||||||||
| - | + | ||||||||||
| + | - | ||||||||||
| - |
원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.
| - | |||||||||||
| - | - | + | + | ||||||||
| - | + | ||||||||||
| - | + | ||||||||||
| + | - | ||||||||||
| - | + |
피제수 의 고차항을 제수 의 고차항으로 나눕니다.
| - | - | ||||||||||
| - | - | + | + | ||||||||
| - | + | ||||||||||
| - | + | ||||||||||
| + | - | ||||||||||
| - | + |
새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.
| - | - | ||||||||||
| - | - | + | + | ||||||||
| - | + | ||||||||||
| - | + | ||||||||||
| + | - | ||||||||||
| - | + | ||||||||||
| - | + |
식을 피제수에서 빼야 하므로 의 모든 부호를 바꿉니다.
| - | - | ||||||||||
| - | - | + | + | ||||||||
| - | + | ||||||||||
| - | + | ||||||||||
| + | - | ||||||||||
| - | + | ||||||||||
| + | - |
부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.
| - | - | ||||||||||
| - | - | + | + | ||||||||
| - | + | ||||||||||
| - | + | ||||||||||
| + | - | ||||||||||
| - | + | ||||||||||
| + | - | ||||||||||
나머지가 이므로, 몫이 최종해입니다.
을 인수의 집합으로 표현합니다.
방정식 좌변의 한 인수가 이면 전체 식은 이 됩니다.
이 가 되도록 하고 에 대해 식을 풉니다.
를 와 같다고 둡니다.
방정식의 양변에 를 더합니다.
이 가 되도록 하고 에 대해 식을 풉니다.
를 와 같다고 둡니다.
을 에 대해 풉니다.
근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.
이차함수의 근의 공식에 , , 을 대입하여 를 구합니다.
간단히 합니다.
분자를 간단히 합니다.
를 승 합니다.
을 곱합니다.
에 을 곱합니다.
에 을 곱합니다.
를 에 더합니다.
에 을 곱합니다.
수식을 간단히 하여 의 부분에 대해 식을 풉니다.
분자를 간단히 합니다.
를 승 합니다.
을 곱합니다.
에 을 곱합니다.
에 을 곱합니다.
를 에 더합니다.
에 을 곱합니다.
을 로 바꿉니다.
수식을 간단히 하여 의 부분에 대해 식을 풉니다.
분자를 간단히 합니다.
를 승 합니다.
을 곱합니다.
에 을 곱합니다.
에 을 곱합니다.
를 에 더합니다.
에 을 곱합니다.
을 로 바꿉니다.
두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.
을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.
Step 6
식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.
Step 7
계산할 임계점.
Step 8
에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.
Step 9
각 항을 간단히 합니다.
를 승 합니다.
에 을 곱합니다.
에 을 곱합니다.
에서 을 뺍니다.
Step 10
이계도함수가 양수이므로 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.
은 극소값입니다.
Step 11
수식에서 변수 에 을 대입합니다.
결과를 간단히 합니다.
각 항을 간단히 합니다.
를 승 합니다.
를 승 합니다.
에 을 곱합니다.
에 을 곱합니다.
더하고 빼서 식을 간단히 합니다.
에서 을 뺍니다.
를 에 더합니다.
최종 답은 입니다.
Step 12
에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.
Step 13
각 항을 간단히 합니다.
에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.
를 승 합니다.
의 공약수로 약분합니다.
에서 를 인수분해합니다.
에서 를 인수분해합니다.
공약수로 약분합니다.
수식을 다시 씁니다.
와 을 묶습니다.
을 로 바꿔 씁니다.
FOIL 계산법을 이용하여 를 전개합니다.
분배 법칙을 적용합니다.
분배 법칙을 적용합니다.
분배 법칙을 적용합니다.
동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.
각 항을 간단히 합니다.
에 을 곱합니다.
에 을 곱합니다.
에 을 곱합니다.
근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.
에 을 곱합니다.
을 로 바꿔 씁니다.
양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.
를 에 더합니다.
를 에 더합니다.
및 의 공약수로 약분합니다.
에서 를 인수분해합니다.
공약수로 약분합니다.
에서 를 인수분해합니다.
공약수로 약분합니다.
수식을 다시 씁니다.
의 공약수로 약분합니다.
에서 를 인수분해합니다.
에서 를 인수분해합니다.
공약수로 약분합니다.
수식을 다시 씁니다.
와 을 묶습니다.
마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.
공통 분모를 가지는 분수로 을 표현하기 위해 을 곱합니다.
각 수식에 적절한 인수 을 곱하여 수식의 분모가 모두 이 되도록 식을 씁니다.
에 을 곱합니다.
에 을 곱합니다.
공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.
분자를 간단히 합니다.
분배 법칙을 적용합니다.
에 을 곱합니다.
분배 법칙을 적용합니다.
에 을 곱합니다.
분배 법칙을 적용합니다.
에 을 곱합니다.
에 을 곱합니다.
에서 을 뺍니다.
에서 을 뺍니다.
Step 14
이계도함수가 음수이므로 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.
은 극대값입니다
Step 15
수식에서 변수 에 을 대입합니다.
결과를 간단히 합니다.
각 항을 간단히 합니다.
에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.
를 승 합니다.
이항정리 이용
각 항을 간단히 합니다.
1의 모든 거듭제곱은 1입니다.
1의 모든 거듭제곱은 1입니다.
에 을 곱합니다.
1의 모든 거듭제곱은 1입니다.
에 을 곱합니다.
을 로 바꿔 씁니다.
을(를) 사용하여 을(를) (으)로 다시 씁니다.
멱의 법칙을 적용하여 과 같이 지수를 곱합니다.
와 을 묶습니다.
의 공약수로 약분합니다.
공약수로 약분합니다.
수식을 다시 씁니다.
지수값을 계산합니다.
에 을 곱합니다.
에 을 곱합니다.
을 로 바꿔 씁니다.
를 승 합니다.
을 로 바꿔 씁니다.
에서 를 인수분해합니다.
을 로 바꿔 씁니다.
근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.
에 을 곱합니다.
을 로 바꿔 씁니다.
을(를) 사용하여 을(를) (으)로 다시 씁니다.
멱의 법칙을 적용하여 과 같이 지수를 곱합니다.
와 을 묶습니다.
및 의 공약수로 약분합니다.
에서 를 인수분해합니다.
공약수로 약분합니다.
에서 를 인수분해합니다.
공약수로 약분합니다.
수식을 다시 씁니다.
을 로 나눕니다.
를 승 합니다.
를 에 더합니다.
를 에 더합니다.
를 에 더합니다.
및 의 공약수로 약분합니다.
에서 를 인수분해합니다.
에서 를 인수분해합니다.
에서 를 인수분해합니다.
공약수로 약분합니다.
에서 를 인수분해합니다.
공약수로 약분합니다.
수식을 다시 씁니다.
에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.
를 승 합니다.
이항정리 이용
각 항을 간단히 합니다.
1의 모든 거듭제곱은 1입니다.
1의 모든 거듭제곱은 1입니다.
에 을 곱합니다.
에 을 곱합니다.
을 로 바꿔 씁니다.
을(를) 사용하여 을(를) (으)로 다시 씁니다.
멱의 법칙을 적용하여 과 같이 지수를 곱합니다.
와 을 묶습니다.
의 공약수로 약분합니다.
공약수로 약분합니다.
수식을 다시 씁니다.
지수값을 계산합니다.
에 을 곱합니다.
을 로 바꿔 씁니다.
를 승 합니다.
을 로 바꿔 씁니다.
에서 를 인수분해합니다.
을 로 바꿔 씁니다.
근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.
를 에 더합니다.
를 에 더합니다.
및 의 공약수로 약분합니다.
에서 를 인수분해합니다.
에서 를 인수분해합니다.
에서 를 인수분해합니다.
공약수로 약분합니다.
에서 를 인수분해합니다.
공약수로 약분합니다.
수식을 다시 씁니다.
와 을 묶습니다.
마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.
의 공약수로 약분합니다.
에서 를 인수분해합니다.
공약수로 약분합니다.
수식을 다시 씁니다.
공통분모를 구합니다.
에 을 곱합니다.
에 을 곱합니다.
에 을 곱합니다.
에 을 곱합니다.
인수를 다시 정렬합니다.
에 을 곱합니다.
에 을 곱합니다.
공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.
각 항을 간단히 합니다.
분배 법칙을 적용합니다.
에 을 곱합니다.
에 을 곱합니다.
분배 법칙을 적용합니다.
에 을 곱합니다.
에 을 곱합니다.
분배 법칙을 적용합니다.
에 을 곱합니다.
의 왼쪽으로 이동하기
항을 더해 식을 간단히 합니다.
에서 을 뺍니다.
를 에 더합니다.
에서 을 뺍니다.
를 에 더합니다.
최종 답은 입니다.
Step 16
에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.
Step 17
각 항을 간단히 합니다.
에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.
를 승 합니다.
의 공약수로 약분합니다.
에서 를 인수분해합니다.
에서 를 인수분해합니다.
공약수로 약분합니다.
수식을 다시 씁니다.
와 을 묶습니다.
을 로 바꿔 씁니다.
FOIL 계산법을 이용하여 를 전개합니다.
분배 법칙을 적용합니다.
분배 법칙을 적용합니다.
분배 법칙을 적용합니다.
동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.
각 항을 간단히 합니다.
에 을 곱합니다.
에 을 곱합니다.
에 을 곱합니다.
을 곱합니다.
에 을 곱합니다.
에 을 곱합니다.
를 승 합니다.
를 승 합니다.
지수 법칙 을 이용하여 지수를 합칩니다.
를 에 더합니다.
을 로 바꿔 씁니다.
을(를) 사용하여 을(를) (으)로 다시 씁니다.
멱의 법칙을 적용하여 과 같이 지수를 곱합니다.
와 을 묶습니다.
의 공약수로 약분합니다.
공약수로 약분합니다.
수식을 다시 씁니다.
지수값을 계산합니다.
를 에 더합니다.
에서 을 뺍니다.
및 의 공약수로 약분합니다.
에서 를 인수분해합니다.
공약수로 약분합니다.
에서 를 인수분해합니다.
공약수로 약분합니다.
수식을 다시 씁니다.
의 공약수로 약분합니다.
에서 를 인수분해합니다.
에서 를 인수분해합니다.
공약수로 약분합니다.
수식을 다시 씁니다.
와 을 묶습니다.
마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.
공통 분모를 가지는 분수로 을 표현하기 위해 을 곱합니다.
각 수식에 적절한 인수 을 곱하여 수식의 분모가 모두 이 되도록 식을 씁니다.
에 을 곱합니다.
에 을 곱합니다.
공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.
분자를 간단히 합니다.
분배 법칙을 적용합니다.
에 을 곱합니다.
에 을 곱합니다.
분배 법칙을 적용합니다.
에 을 곱합니다.
에 을 곱합니다.
분배 법칙을 적용합니다.
에 을 곱합니다.
에 을 곱합니다.
에서 을 뺍니다.
를 에 더합니다.
Step 18
이계도함수가 양수이므로 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.
은 극소값입니다.
Step 19
수식에서 변수 에 을 대입합니다.
결과를 간단히 합니다.
각 항을 간단히 합니다.
에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.
를 승 합니다.
이항정리 이용
각 항을 간단히 합니다.
1의 모든 거듭제곱은 1입니다.
1의 모든 거듭제곱은 1입니다.
에 을 곱합니다.
에 을 곱합니다.
1의 모든 거듭제곱은 1입니다.
에 을 곱합니다.
에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.
를 승 합니다.
에 을 곱합니다.
을 로 바꿔 씁니다.
을(를) 사용하여 을(를) (으)로 다시 씁니다.
멱의 법칙을 적용하여 과 같이 지수를 곱합니다.
와 을 묶습니다.
의 공약수로 약분합니다.
공약수로 약분합니다.
수식을 다시 씁니다.
지수값을 계산합니다.
에 을 곱합니다.
에 을 곱합니다.
에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.
를 승 합니다.
을 로 바꿔 씁니다.
를 승 합니다.
을 로 바꿔 씁니다.
에서 를 인수분해합니다.
을 로 바꿔 씁니다.
근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.
에 을 곱합니다.
에 을 곱합니다.
에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.
를 승 합니다.
에 을 곱합니다.
을 로 바꿔 씁니다.
을(를) 사용하여 을(를) (으)로 다시 씁니다.
멱의 법칙을 적용하여 과 같이 지수를 곱합니다.
와 을 묶습니다.
및 의 공약수로 약분합니다.
에서 를 인수분해합니다.
공약수로 약분합니다.
에서 를 인수분해합니다.
공약수로 약분합니다.
수식을 다시 씁니다.
을 로 나눕니다.
를 승 합니다.
를 에 더합니다.
를 에 더합니다.
에서 을 뺍니다.
및 의 공약수로 약분합니다.
에서 를 인수분해합니다.
에서 를 인수분해합니다.
에서 를 인수분해합니다.
공약수로 약분합니다.
에서 를 인수분해합니다.
공약수로 약분합니다.
수식을 다시 씁니다.
에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.
를 승 합니다.
이항정리 이용
각 항을 간단히 합니다.
1의 모든 거듭제곱은 1입니다.
1의 모든 거듭제곱은 1입니다.
에 을 곱합니다.
에 을 곱합니다.
에 을 곱합니다.
에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.
를 승 합니다.
에 을 곱합니다.
을 로 바꿔 씁니다.
을(를) 사용하여 을(를) (으)로 다시 씁니다.
멱의 법칙을 적용하여 과 같이 지수를 곱합니다.
와 을 묶습니다.
의 공약수로 약분합니다.
공약수로 약분합니다.
수식을 다시 씁니다.
지수값을 계산합니다.
에 을 곱합니다.
에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.
를 승 합니다.
을 로 바꿔 씁니다.
를 승 합니다.
을 로 바꿔 씁니다.
에서 를 인수분해합니다.
을 로 바꿔 씁니다.
근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.
에 을 곱합니다.
를 에 더합니다.
에서 을 뺍니다.
및 의 공약수로 약분합니다.
에서 를 인수분해합니다.
에서 를 인수분해합니다.
에서 를 인수분해합니다.
공약수로 약분합니다.
에서 를 인수분해합니다.
공약수로 약분합니다.
수식을 다시 씁니다.
와 을 묶습니다.
마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.
의 공약수로 약분합니다.
에서 를 인수분해합니다.
공약수로 약분합니다.
수식을 다시 씁니다.
공통분모를 구합니다.
에 을 곱합니다.
에 을 곱합니다.
에 을 곱합니다.
에 을 곱합니다.
인수를 다시 정렬합니다.
에 을 곱합니다.
에 을 곱합니다.
공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.
각 항을 간단히 합니다.
분배 법칙을 적용합니다.
에 을 곱합니다.
에 을 곱합니다.
분배 법칙을 적용합니다.
에 을 곱합니다.
에 을 곱합니다.
분배 법칙을 적용합니다.
에 을 곱합니다.
에 을 곱합니다.
항을 더해 식을 간단히 합니다.
에서 을 뺍니다.
를 에 더합니다.
를 에 더합니다.
에서 을 뺍니다.
최종 답은 입니다.
Step 20
에 대한 극값입니다.
은 극솟값임
은 극댓값임
은 극솟값임
Step 21