미적분 예제

$f (x) = 150 + 8 x^{3} + x^{4}$

Step 1

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

합의 법칙에 의해 $150 + 8 x^{3} + x^{4}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [150] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (150) + \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{4})$

$150$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $150$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $150$ 입니다.

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{4})$

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x^{3}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f' (x) = 0 + 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{4})$

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 0 + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x^{4})$

$3$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 0 + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{4})$

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 0 + 24 x^{2} + 4 x^{3}$

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$0$ 를 $24 x^{2}$ 에 더합니다.

$f' (x) = 24 x^{2} + 4 x^{3}$

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} + 24 x^{2}$

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

합의 법칙에 의해 $4 x^{3} + 24 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2})$

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2})$

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2})$

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x^{2})$

$\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$24$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $24 x^{2}$ 의 미분은 $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} (x^{2})$

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} + 24 (2 x)$

$2$ 에 $24$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x$

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $12 x^{2} + 48 x$ 입니다.

$12 x^{2} + 48 x$

Step 2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $12 x^{2} + 48 x = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$12 x^{2} + 48 x = 0$

$12 x^{2} + 48 x$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$12 x^{2}$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

$12 x (x) + 48 x = 0$

$48 x$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

$12 x (x) + 12 x (4) = 0$

$12 x (x) + 12 x (4)$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

$12 x (x + 4) = 0$

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x + 4 = 0$

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

$x + 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$x + 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 4 = 0$

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$x = - 4$

$12 x (x + 4) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, - 4$

Step 3

2차 도함수가 $0$ 인 점을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$f (x) = 150 + 8 x^{3} + x^{4}$ 에 $0$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = 150 + 8 {(0)}^{3} + {(0)}^{4}$

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 150 + 8 \cdot 0 + {(0)}^{4}$

$8$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 150 + 0 + {(0)}^{4}$

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 150 + 0 + 0$

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$150$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = 150 + 0$

$150$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = 150$

최종 답은 $150$ 입니다.

$150$

$f (x) = 150 + 8 x^{3} + x^{4}$ 에 $0$ 을 대입하여 구한 점은 $(0, 150)$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(0, 150)$

$f (x) = 150 + 8 x^{3} + x^{4}$ 에 $- 4$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

수식에서 변수 $x$ 에 $- 4$ 을 대입합니다.

$f (- 4) = 150 + 8 {(- 4)}^{3} + {(- 4)}^{4}$

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 4$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (- 4) = 150 + 8 \cdot - 64 + {(- 4)}^{4}$

$8$ 에 $- 64$ 을 곱합니다.

$f (- 4) = 150 - 512 + {(- 4)}^{4}$

$- 4$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (- 4) = 150 - 512 + 256$

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$150$ 에서 $512$ 을 뺍니다.

$f (- 4) = - 362 + 256$

$- 362$ 를 $256$ 에 더합니다.

$f (- 4) = - 106$

최종 답은 $- 106$ 입니다.

$- 106$

$f (x) = 150 + 8 x^{3} + x^{4}$ 에 $- 4$ 을 대입하여 구한 점은 $(- 4, - 106)$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(- 4, - 106)$

변곡점이 될 수 있는 점을 구합니다.

$(0, 150), (- 4, - 106)$

Step 4

$(- \infty, \infty)$ 을 변곡점 가능성이 있는 점 주위 간격으로 나눕니다.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, \infty)$

Step 5

$(- \infty, - 4)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

수식에서 변수 $x$ 에 $- 4.1$ 을 대입합니다.

$f'' (- 4.1) = 12 {(- 4.1)}^{2} + 48 (- 4.1)$

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 4.1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 4.1) = 12 \cdot 16.81 + 48 (- 4.1)$

$12$ 에 $16.81$ 을 곱합니다.

$f'' (- 4.1) = 201.72 + 48 (- 4.1)$

$48$ 에 $- 4.1$ 을 곱합니다.

$f'' (- 4.1) = 201.72 - 196.8$

$201.72$ 에서 $196.8$ 을 뺍니다.

$f'' (- 4.1) = 4.92$

최종 답은 $4.92$ 입니다.

$4.92$

$- 4.1$ 에서의 이계도함수는 $4.92$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(- \infty, - 4)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(- \infty, - 4)$ 에서 증가함

Step 6

$(- 4, 0)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f'' (- 2) = 12 {(- 2)}^{2} + 48 (- 2)$

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 2) = 12 \cdot 4 + 48 (- 2)$

$12$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (- 2) = 48 + 48 (- 2)$

$48$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (- 2) = 48 - 96$

$48$ 에서 $96$ 을 뺍니다.

$f'' (- 2) = - 48$

최종 답은 $- 48$ 입니다.

$- 48$

$- 2$ 에서의 2차 미분값은 $- 48$ 입니다. 이 값이 음수이므로 2차 도함수는 $(- 4, 0)$ 구간에서 감소합니다.

$f'' (x) < 0$ 이므로 $(- 4, 0)$ 에서 감소함

Step 7

$(0, \infty)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

수식에서 변수 $x$ 에 $0.1$ 을 대입합니다.

$f'' (0.1) = 12 {(0.1)}^{2} + 48 (0.1)$

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$0.1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (0.1) = 12 \cdot 0.01 + 48 (0.1)$

$12$ 에 $0.01$ 을 곱합니다.

$f'' (0.1) = 0.12 + 48 (0.1)$

$48$ 에 $0.1$ 을 곱합니다.

$f'' (0.1) = 0.12 + 4.8$

$0.12$ 를 $4.8$ 에 더합니다.

$f'' (0.1) = 4.92$

최종 답은 $4.92$ 입니다.

$4.92$

$0.1$ 에서의 이계도함수는 $4.92$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(0, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(0, \infty)$ 에서 증가함

Step 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 4, - 106), (0, 150)$ .

$(- 4, - 106), (0, 150)$

Step 9