미적분 예제

$f (x) = x \sqrt{x^{2} + 36}$

Step 1

2차 도함수를 구합니다

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1차 도함수를 구합니다.

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$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x^{2} + 36}$ 을(를) ${(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}})$

$f (x) = x$ , $g (x) = {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x^{2} + 36$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 36$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

$u$ 를 모두 $x^{2} + 36$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

분자를 간단히 합니다.

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$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

분수를 통분합니다.

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마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x^{2} + 36)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = x (\frac{{(x^{2} + 36)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x^{2} + 36)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 36) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 36$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

$36$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $36$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $36$ 입니다.

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

$2$ 와 $\frac{x}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

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$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

공약수로 약분합니다.

$f' (x) = \frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

수식을 다시 씁니다.

$f' (x) = \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

${(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$

공통 분모를 가지는 분수로 ${(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

지수를 더하여 ${(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} + x^{2} + 36}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

${(x^{2} + 36)}^{1}$ 을 간단히 합니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} + x^{2} + 36}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

$x^{2}$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$f (x) = 2 x^{2} + 36$ , $g (x) = {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 36) - (2 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

${({(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 36) - (2 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 36) - (2 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 36) - (2 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 36}$

간단히 합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 36) - (2 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 36}$

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

합의 법칙에 의해 $2 x^{2} + 36$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36)) - (2 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 36}$

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{2}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (36)) - (2 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 36}$

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} (36)) - (2 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 36}$

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} (4 x + \frac{d}{d x} (36)) - (2 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 36}$

$36$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $36$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $36$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} (4 x + 0) - (2 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 36}$

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$4 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} (4 x) - (2 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 36}$

${(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$f'' (x) = \frac{4 \cdot ({(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x) - (2 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 36}$

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x^{2} + 36$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 36$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{x^{2} + 36}$

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{x^{2} + 36}$

$u$ 를 모두 $x^{2} + 36$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{x^{2} + 36}$

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{x^{2} + 36}$

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{x^{2} + 36}$

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{x^{2} + 36}$

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{x^{2} + 36}$

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{x^{2} + 36}$

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{x^{2} + 36}$

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x^{2} + 36)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{{(x^{2} + 36)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{x^{2} + 36}$

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x^{2} + 36)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{x^{2} + 36}$

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 36$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (36)))}{x^{2} + 36}$

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (36)))}{x^{2} + 36}$

$36$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $36$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $36$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0))}{x^{2} + 36}$

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x))}{x^{2} + 36}$

$2$ 와 $\frac{1}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{2}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{x^{2} + 36}$

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) \frac{x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x + (- (2 x^{2}) - 1 \cdot 36) (\frac{x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} + 36}$

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} - 1 \cdot 36) (\frac{x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} + 36}$

$- 1$ 에 $36$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} - 36) (\frac{x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} + 36}$

$- 2 x^{2} - 36$ 에 $\frac{x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

$- 2 x^{2} - 36$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 2 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

$- 36$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 2 (- 18)) x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

$2 (- x^{2}) + 2 (- 18)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{2} - 18) x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

공통 분모를 가지는 분수로 $4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x$ 을 표현하기 위해 $\frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- x^{2} - 18) x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} - 18) x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

인수분해된 형태로 $\frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} - 18) x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} - 18) x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (- x^{2} - 18) x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

$2 (- x^{2} - 18) x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x (- x^{2} - 18)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

$2 x (2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x (- x^{2} - 18)$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} - x^{2} - 18)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

지수를 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

지수를 더하여 ${(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

${(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 ({(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}) - x^{2} - 18)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2} - 18)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2} - 18)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{2}{2}} - x^{2} - 18)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 (x^{2} + 36) - x^{2} - 18)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

$2 {(x^{2} + 36)}^{1}$ 을 간단히 합니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 (x^{2} + 36) - x^{2} - 18)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} + 2 \cdot 36 - x^{2} - 18)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

$2$ 에 $36$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} + 72 - x^{2} - 18)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

$2 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} + 72 - 18)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

$72$ 에서 $18$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$\frac{\frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 36}$

$\frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{1}{x^{2} + 36}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 36)}$

지수를 더하여 ${(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $x^{2} + 36$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

${(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $x^{2} + 36$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$x^{2} + 36$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 36)}$

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{3}{2}}}$

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $\frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{3}{2}}}$ 입니다.

$\frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{3}{2}}}$

Step 2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $\frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$\frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

분자가 0과 같게 만듭니다.

$2 x (x^{2} + 54) = 0$

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x^{2} + 54 = 0$

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

$x^{2} + 54$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$x^{2} + 54$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} + 54 = 0$

$x^{2} + 54 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

방정식의 양변에서 $54$ 를 뺍니다.

$x^{2} = - 54$

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 54}$

$\pm \sqrt{- 54}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 54$ 을 $- 1 (54)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1 (54)}$

$\sqrt{- 1 (54)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{54}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{54}$

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \cdot \sqrt{54}$

$54$ 을 $3^{2} \cdot 6$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$54$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$x = \pm i \cdot \sqrt{9 (6)}$

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 6}$

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm i \cdot (3 \sqrt{6})$

$i$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$x = \pm 3 i \sqrt{6}$

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 3 i \sqrt{6}$

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 3 i \sqrt{6}$

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 3 i \sqrt{6}, - 3 i \sqrt{6}$

$2 x (x^{2} + 54) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 3 i \sqrt{6}, - 3 i \sqrt{6}$

Step 3

2차 도함수가 $0$ 인 점을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$f (x) = x \sqrt{x^{2} + 36}$ 에 $0$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = (0) \sqrt{{(0)}^{2} + 36}$

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 0 \sqrt{0 + 36}$

$0$ 를 $36$ 에 더합니다.

$f (0) = 0 \sqrt{36}$

$36$ 을 $6^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (0) = 0 \sqrt{6^{2}}$

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f (0) = 0 \cdot 6$

$0$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0$

최종 답은 $0$ 입니다.

$0$

$f (x) = x \sqrt{x^{2} + 36}$ 에 $0$ 을 대입하여 구한 점은 $(0, 0)$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(0, 0)$

Step 4

$(- \infty, \infty)$ 을 변곡점 가능성이 있는 점 주위 간격으로 나눕니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Step 5

$(- \infty, 0)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

수식에서 변수 $x$ 에 $- 0.1$ 을 대입합니다.

$f'' (- 0.1) = \frac{2 (- 0.1) ({(- 0.1)}^{2} + 54)}{{({(- 0.1)}^{2} + 36)}^{\frac{3}{2}}}$

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$2$ 에 $- 0.1$ 을 곱합니다.

$f'' (- 0.1) = \frac{- 0.2 ({(- 0.1)}^{2} + 54)}{{({(- 0.1)}^{2} + 36)}^{\frac{3}{2}}}$

$- 0.2$ 에 ${(- 0.1)}^{2} + 54$ 을 곱합니다.

$f'' (- 0.1) = \frac{- 10.802}{{({(- 0.1)}^{2} + 36)}^{\frac{3}{2}}}$

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 0.1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 0.1) = \frac{- 10.802}{{(0.01 + 36)}^{\frac{3}{2}}}$

$0.01$ 를 $36$ 에 더합니다.

$f'' (- 0.1) = \frac{- 10.802}{{36.01}^{\frac{3}{2}}}$

$36.01$ 을 ${6.00083327}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (- 0.1) = \frac{- 10.802}{{({6.00083327}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (- 0.1) = \frac{- 10.802}{{6.00083327}^{2 (\frac{3}{2})}}$

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

공약수로 약분합니다.

$f'' (- 0.1) = \frac{- 10.802}{{6.00083327}^{2 (\frac{3}{2})}}$

수식을 다시 씁니다.

$f'' (- 0.1) = \frac{- 10.802}{{6.00083327}^{3}}$

$6.00083327$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (- 0.1) = \frac{- 10.802}{216.09000624}$

$- 10.802$ 을 $216.09000624$ 로 나눕니다.

$f'' (- 0.1) = - 0.04998842$

최종 답은 $- 0.04998842$ 입니다.

$- 0.04998842$

$- 0.1$ 에서의 2차 미분값은 $- 0.04998842$ 입니다. 이 값이 음수이므로 2차 도함수는 $(- \infty, 0)$ 구간에서 감소합니다.

$f'' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, 0)$ 에서 감소함

Step 6

$(0, \infty)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

수식에서 변수 $x$ 에 $0.1$ 을 대입합니다.

$f'' (0.1) = \frac{2 (0.1) ({(0.1)}^{2} + 54)}{{({(0.1)}^{2} + 36)}^{\frac{3}{2}}}$

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$2$ 에 $0.1$ 을 곱합니다.

$f'' (0.1) = \frac{0.2 ({0.1}^{2} + 54)}{{({0.1}^{2} + 36)}^{\frac{3}{2}}}$

$0.2$ 에 ${0.1}^{2} + 54$ 을 곱합니다.

$f'' (0.1) = \frac{10.802}{{({0.1}^{2} + 36)}^{\frac{3}{2}}}$

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$0.1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (0.1) = \frac{10.802}{{(0.01 + 36)}^{\frac{3}{2}}}$

$0.01$ 를 $36$ 에 더합니다.

$f'' (0.1) = \frac{10.802}{{36.01}^{\frac{3}{2}}}$

$36.01$ 을 ${6.00083327}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (0.1) = \frac{10.802}{{({6.00083327}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (0.1) = \frac{10.802}{{6.00083327}^{2 (\frac{3}{2})}}$

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

공약수로 약분합니다.

$f'' (0.1) = \frac{10.802}{{6.00083327}^{2 (\frac{3}{2})}}$

수식을 다시 씁니다.

$f'' (0.1) = \frac{10.802}{{6.00083327}^{3}}$

$6.00083327$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (0.1) = \frac{10.802}{216.09000624}$

$10.802$ 을 $216.09000624$ 로 나눕니다.

$f'' (0.1) = 0.04998842$

최종 답은 $0.04998842$ 입니다.

$0.04998842$

$0.1$ 에서의 이계도함수는 $0.04998842$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(0, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(0, \infty)$ 에서 증가함

Step 7

변곡점이란 곡선의 오목함이 양에서 음으로 또는 음에서 양으로 바뀌는 점을 말합니다. 이 경우 변곡점은 $(0, 0)$ 입니다.

$(0, 0)$

Step 8