미적분 예제

$f (x) = 4 x^{3} + x^{2} + 4 x$

Step 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

합의 법칙에 의해 $4 x^{3} + x^{2} + 4 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 12 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (4 x)$

$\frac{d}{d x} [4 x]$ 의 값을 구합니다.

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$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = 12 x^{2} + 2 x + 4 \frac{d}{d x} (x)$

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 12 x^{2} + 2 x + 4 \cdot 1$

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 12 x^{2} + 2 x + 4$

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $12 x^{2} + 2 x + 4$ 입니다.

$12 x^{2} + 2 x + 4$

Step 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $12 x^{2} + 2 x + 4 = 0$ 을 풉니다.

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1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$12 x^{2} + 2 x + 4 = 0$

$12 x^{2} + 2 x + 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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$12 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (6 x^{2}) + 2 x + 4 = 0$

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (6 x^{2}) + 2 (x) + 4 = 0$

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (6 x^{2}) + 2 x + 2 \cdot 2 = 0$

$2 (6 x^{2}) + 2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (6 x^{2} + x) + 2 \cdot 2 = 0$

$2 (6 x^{2} + x) + 2 \cdot 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (6 x^{2} + x + 2) = 0$

$2 (6 x^{2} + x + 2) = 0$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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$2 (6 x^{2} + x + 2) = 0$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 (6 x^{2} + x + 2)}{2} = \frac{0}{2}$

좌변을 간단히 합니다.

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$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (6 x^{2} + x + 2)}{2} = \frac{0}{2}$

$6 x^{2} + x + 2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$6 x^{2} + x + 2 = \frac{0}{2}$

우변을 간단히 합니다.

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$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$6 x^{2} + x + 2 = 0$

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

이차함수의 근의 공식에 $a = 6$ , $b = 1$ , $c = 2$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (6 \cdot 2)}}{2 \cdot 6}$

간단히 합니다.

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분자를 간단히 합니다.

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1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 6 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

$- 4 \cdot 6 \cdot 2$ 을 곱합니다.

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$- 4$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 24 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

$- 24$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 48}}{2 \cdot 6}$

$1$ 에서 $48$ 을 뺍니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 47}}{2 \cdot 6}$

$- 47$ 을 $- 1 (47)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 47}}{2 \cdot 6}$

$\sqrt{- 1 (47)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{12}$

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

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분자를 간단히 합니다.

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1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 6 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

$- 4 \cdot 6 \cdot 2$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 4$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 24 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

$- 24$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 48}}{2 \cdot 6}$

$1$ 에서 $48$ 을 뺍니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 47}}{2 \cdot 6}$

$- 47$ 을 $- 1 (47)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 47}}{2 \cdot 6}$

$\sqrt{- 1 (47)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{12}$

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{47}}{12}$

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{47}}{12}$

$i \sqrt{47}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{47})}{12}$

$- 1 (1) - (- i \sqrt{47})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{47})}{12}$

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{47}}{12}$

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

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분자를 간단히 합니다.

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1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 6 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

$- 4 \cdot 6 \cdot 2$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 4$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 24 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

$- 24$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 48}}{2 \cdot 6}$

$1$ 에서 $48$ 을 뺍니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 47}}{2 \cdot 6}$

$- 47$ 을 $- 1 (47)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 47}}{2 \cdot 6}$

$\sqrt{- 1 (47)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{12}$

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{47}}{12}$

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{47}}{12}$

$- i \sqrt{47}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{47})}{12}$

$- 1 (1) - (i \sqrt{47})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{47})}{12}$

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{47}}{12}$

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{47}}{12}, - \frac{1 + i \sqrt{47}}{12}$

Step 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

Step 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않았다면 원래 문제의 정의역에는 $x$ 값이 존재하지 않습니다.

임계점 없음