미적분 예제

$\int \sec^{4} (2 x) d x$

Step 1

먼저 $u_{1} = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$u_{1} = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \sec^{4} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Step 2

$\sec^{4} (u_{1})$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\sec^{4} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Step 3

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int \sec^{4} (u_{1}) d u_{1}$

Step 4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$4$ 를 $2$ + $2$ 로 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} \int {\sec (u_{1})}^{2 + 2} d u_{1}$

${\sec (u_{1})}^{2 + 2}$ 을 $\sec^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1})$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Step 5

피타고라스 항등식을 이용하여 $\sec^{2} (u_{1})$ 를 $1 + \tan^{2} (u_{1})$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \int (1 + \tan^{2} (u_{1})) \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Step 6

먼저 $u_{2} = \tan (u_{1})$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ 이므로 $\frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$u_{2} = \tan (u_{1})$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$\tan (u_{1})$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

$\tan (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (u_{1})$ 입니다.

$\sec^{2} (u_{1})$

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \int 1 + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Step 7

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{2} (\int d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Step 8

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} (u_{2} + C + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Step 9

멱의 법칙에 의해 ${u_{2}}^{2}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} (u_{2} + C + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Step 10

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} (u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

Step 11

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$u_{2}$ 를 모두 $\tan (u_{1})$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (\tan (u_{1}) + \frac{1}{3} \tan^{3} (u_{1})) + C$

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (\tan (2 x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (2 x)) + C$

Step 12

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$\frac{1}{3}$ 와 $\tan^{3} (2 x)$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (\tan (2 x) + \frac{\tan^{3} (2 x)}{3}) + C$

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} \tan (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\tan^{3} (2 x)}{3} + C$

$\frac{1}{2}$ 와 $\tan (2 x)$ 을 묶습니다.

$\frac{\tan (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\tan^{3} (2 x)}{3} + C$

조합합니다.

$\frac{\tan (2 x)}{2} + \frac{1 \tan^{3} (2 x)}{2 \cdot 3} + C$

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$\tan^{3} (2 x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\tan (2 x)}{2} + \frac{\tan^{3} (2 x)}{2 \cdot 3} + C$

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{\tan (2 x)}{2} + \frac{\tan^{3} (2 x)}{6} + C$

Step 13

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} \tan (2 x) + \frac{1}{6} \tan^{3} (2 x) + C$