미적분 예제

$f (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2}$

Step 1

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

합의 법칙에 의해 $5 x^{4} - 30 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{2}]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2})$

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{4}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2})$

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2})$

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2})$

$\frac{d}{d x} [- 30 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 30$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 30 x^{2}$ 의 미분은 $- 30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f' (x) = 20 x^{3} - 30 \frac{d}{d x} x^{2}$

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 20 x^{3} - 30 (2 x)$

$2$ 에 $- 30$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 20 x^{3} - 60 x$

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

합의 법칙에 의해 $20 x^{3} - 60 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x)$

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$20$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $20 x^{3}$ 의 미분은 $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f'' (x) = 20 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x)$

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x)$

$3$ 에 $20$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 60 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 60 x)$

$\frac{d}{d x} [- 60 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 60$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 60 x$ 의 미분은 $- 60 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 60 x^{2} - 60 \frac{d}{d x} x$

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 60 x^{2} - 60 \cdot 1$

$- 60$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 60 x^{2} - 60$

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $60 x^{2} - 60$ 입니다.

$60 x^{2} - 60$

Step 2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $60 x^{2} - 60 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$60 x^{2} - 60 = 0$

방정식의 양변에 $60$ 를 더합니다.

$60 x^{2} = 60$

$60 x^{2} = 60$ 의 각 항을 $60$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$60 x^{2} = 60$ 의 각 항을 $60$ 로 나눕니다.

$\frac{60 x^{2}}{60} = \frac{60}{60}$

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$60$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

공약수로 약분합니다.

$\frac{60 x^{2}}{60} = \frac{60}{60}$

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{60}{60}$

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$60$ 을 $60$ 로 나눕니다.

$x^{2} = 1$

방정식의 양변에 제곱근을 취하여 좌변의 지수를 소거합니다.

$x = \pm \sqrt{1}$

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$x = \pm 1$

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 1$

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 1$

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 1, - 1$

Step 3

2차 도함수가 $0$ 인 점을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$f (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2}$ 에 $1$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f (1) = 5 {(1)}^{4} - 30 {(1)}^{2}$

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (1) = 5 \cdot 1 - 30 {(1)}^{2}$

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = 5 - 30 {(1)}^{2}$

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (1) = 5 - 30 \cdot 1$

$- 30$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = 5 - 30$

$5$ 에서 $30$ 을 뺍니다.

$f (1) = - 25$

최종 답은 $- 25$ 입니다.

$- 25$

$f (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2}$ 에 $1$ 을 대입하여 구한 점은 $(1, - 25)$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(1, - 25)$

$f (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2}$ 에 $- 1$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$f (- 1) = 5 {(- 1)}^{4} - 30 {(- 1)}^{2}$

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 1$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (- 1) = 5 \cdot 1 - 30 {(- 1)}^{2}$

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (- 1) = 5 - 30 {(- 1)}^{2}$

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- 1) = 5 - 30 \cdot 1$

$- 30$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (- 1) = 5 - 30$

$5$ 에서 $30$ 을 뺍니다.

$f (- 1) = - 25$

최종 답은 $- 25$ 입니다.

$- 25$

$f (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2}$ 에 $- 1$ 을 대입하여 구한 점은 $(- 1, - 25)$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(- 1, - 25)$

변곡점이 될 수 있는 점을 구합니다.

$(1, - 25), (- 1, - 25)$

Step 4

$(- \infty, \infty)$ 을 변곡점 가능성이 있는 점 주위 간격으로 나눕니다.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Step 5

$(- \infty, - 1)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1.1$ 을 대입합니다.

$f'' (- 1.1) = 60 {(- 1.1)}^{2} - 60$

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 1.1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 1.1) = 60 \cdot 1.21 - 60$

$60$ 에 $1.21$ 을 곱합니다.

$f'' (- 1.1) = 72.6 - 60$

$72.6$ 에서 $60$ 을 뺍니다.

$f'' (- 1.1) = 12.6$

최종 답은 $12.6$ 입니다.

$12.6$

$- 1.1$ 에서의 이계도함수는 $12.6$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(- \infty, - 1)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(- \infty, - 1)$ 에서 증가함

Step 6

$(- 1, 1)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f'' (0) = 60 {(0)}^{2} - 60$

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f'' (0) = 60 \cdot 0 - 60$

$60$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = 0 - 60$

$0$ 에서 $60$ 을 뺍니다.

$f'' (0) = - 60$

최종 답은 $- 60$ 입니다.

$- 60$

$0$ 에서의 2차 미분값은 $- 60$ 입니다. 이 값이 음수이므로 2차 도함수는 $(- 1, 1)$ 구간에서 감소합니다.

$f'' (x) < 0$ 이므로 $(- 1, 1)$ 에서 감소함

Step 7

$(1, \infty)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

수식에서 변수 $x$ 에 $1.1$ 을 대입합니다.

$f'' (1.1) = 60 {(1.1)}^{2} - 60$

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$1.1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (1.1) = 60 \cdot 1.21 - 60$

$60$ 에 $1.21$ 을 곱합니다.

$f'' (1.1) = 72.6 - 60$

$72.6$ 에서 $60$ 을 뺍니다.

$f'' (1.1) = 12.6$

최종 답은 $12.6$ 입니다.

$12.6$

$1.1$ 에서의 이계도함수는 $12.6$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(1, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(1, \infty)$ 에서 증가함

Step 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 1, - 25), (1, - 25)$ .

$(- 1, - 25), (1, - 25)$

Step 9