미적분 예제

$f (x) = x^{\frac{1}{4}}$

Step 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$n = \frac{1}{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1}$

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}$

$- 1$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}$

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = \frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}}$

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}}$

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$f' (x) = \frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}}$

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = \frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}}$

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{1}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

Step 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{4 x^{\frac{3}{4}}}$ 의 미분은 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}]$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}})$

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ 을 ${(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1})$

${(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{4} \cdot - 1})$

$\frac{3}{4} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$\frac{3}{4}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{3 \cdot - 1}{4}})$

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 3}{4}})$

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{3}{4}})$

$n = - \frac{3}{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{4} x^{- \frac{3}{4} - 1})$

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{4} x^{- \frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

$- 1$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{4} x^{- \frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{4} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 4}{4}})$

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{4} x^{\frac{- 3 - 4}{4}})$

$- 3$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{4} x^{\frac{- 7}{4}})$

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{4} x^{- \frac{7}{4}})$

$x^{- \frac{7}{4}}$ 와 $\frac{3}{4}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{- \frac{7}{4}} \cdot 3}{4})$

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{x^{- \frac{7}{4}} \cdot 3}{4}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{7}{4}} \cdot 3}{4 \cdot 4}$

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{7}{4}} \cdot 3}{16}$

$x^{- \frac{7}{4}}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$f'' (x) = - \frac{3 \cdot x^{- \frac{7}{4}}}{16}$

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{7}{4}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f'' (x) = - \frac{3}{16 x^{\frac{7}{4}}}$

Step 3

3차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- \frac{3}{16}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{3}{16 x^{\frac{7}{4}}}$ 의 미분은 $- \frac{3}{16} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{7}{4}}}]$ 입니다.

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{7}{4}}}$

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$\frac{1}{x^{\frac{7}{4}}}$ 을 ${(x^{\frac{7}{4}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{7}{4}})}^{- 1}$

${(x^{\frac{7}{4}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{7}{4} \cdot - 1}$

$\frac{7}{4} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$\frac{7}{4}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{7 \cdot - 1}{4}}$

$7$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{- 7}{4}}$

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot \frac{d}{d x} x^{- \frac{7}{4}}$

$n = - \frac{7}{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot (- \frac{7}{4} x^{- \frac{7}{4} - 1})$

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot (- \frac{7}{4} x^{- \frac{7}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

$- 1$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot (- \frac{7}{4} x^{- \frac{7}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot (- \frac{7}{4} x^{\frac{- 7 - 1 \cdot 4}{4}})$

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot (- \frac{7}{4} x^{\frac{- 7 - 4}{4}})$

$- 7$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot (- \frac{7}{4} x^{\frac{- 11}{4}})$

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot (- \frac{7}{4} x^{- \frac{11}{4}})$

$x^{- \frac{11}{4}}$ 와 $\frac{7}{4}$ 을 묶습니다.

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot (- \frac{x^{- \frac{11}{4}} \cdot 7}{4})$

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = 1 (\frac{3}{16}) \cdot \frac{x^{- \frac{11}{4}} \cdot 7}{4}$

$\frac{3}{16}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = \frac{3}{16} \cdot \frac{x^{- \frac{11}{4}} \cdot 7}{4}$

$\frac{3}{16}$ 에 $\frac{x^{- \frac{11}{4}} \cdot 7}{4}$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = \frac{3 (x^{- \frac{11}{4}} \cdot 7)}{16 \cdot 4}$

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$7$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = \frac{21 x^{- \frac{11}{4}}}{16 \cdot 4}$

$16$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = \frac{21 x^{- \frac{11}{4}}}{64}$

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{11}{4}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f''' (x) = \frac{21}{64 x^{\frac{11}{4}}}$

Step 4

4차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$\frac{21}{64}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{21}{64 x^{\frac{11}{4}}}$ 의 미분은 $\frac{21}{64} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{11}{4}}}]$ 입니다.

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{11}{4}}})$

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$\frac{1}{x^{\frac{11}{4}}}$ 을 ${(x^{\frac{11}{4}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{11}{4}})}^{- 1})$

${(x^{\frac{11}{4}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{11}{4} \cdot - 1})$

$\frac{11}{4} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$\frac{11}{4}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{11 \cdot - 1}{4}})$

$11$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 11}{4}})$

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{11}{4}})$

$n = - \frac{11}{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot (- \frac{11}{4} x^{- \frac{11}{4} - 1})$

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot (- \frac{11}{4} x^{- \frac{11}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

$- 1$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot (- \frac{11}{4} x^{- \frac{11}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot (- \frac{11}{4} x^{\frac{- 11 - 1 \cdot 4}{4}})$

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot (- \frac{11}{4} x^{\frac{- 11 - 4}{4}})$

$- 11$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot (- \frac{11}{4} x^{\frac{- 15}{4}})$

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot (- \frac{11}{4} x^{- \frac{15}{4}})$

$x^{- \frac{15}{4}}$ 와 $\frac{11}{4}$ 을 묶습니다.

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot (- \frac{x^{- \frac{15}{4}} \cdot 11}{4})$

$\frac{21}{64}$ 에 $\frac{x^{- \frac{15}{4}} \cdot 11}{4}$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = - \frac{21 (x^{- \frac{15}{4}} \cdot 11)}{64 \cdot 4}$

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$11$ 에 $21$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = - \frac{231 x^{- \frac{15}{4}}}{64 \cdot 4}$

$64$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = - \frac{231 x^{- \frac{15}{4}}}{256}$

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{15}{4}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f^{4} (x) = - \frac{231}{256 x^{\frac{15}{4}}}$

Step 5

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 4차 도함수는 $- \frac{231}{256 x^{\frac{15}{4}}}$ 입니다.

$- \frac{231}{256 x^{\frac{15}{4}}}$