미적분 예제

$\int \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}} d x$

Step 1

먼저 $u_{2} = e^{x} + e^{- x}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = (e^{x} - e^{- x}) d x$ 이므로 $\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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$u_{2} = e^{x} + e^{- x}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

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$e^{x} + e^{- x}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$

합의 법칙에 의해 $e^{x} + e^{- x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 의 값을 구합니다.

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$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$e^{x} + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]$

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x} + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]$

$u_{1}$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{x} + e^{- x} \cdot - 1$

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$e^{x} - 1 \cdot e^{- x}$

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{x} - e^{- x}$

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Step 2

$\frac{1}{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{2} |)$ 입니다.

$\ln (| u_{2} |) + C$

Step 3

$u_{2}$ 를 모두 $e^{x} + e^{- x}$ 로 바꿉니다.

$\ln (| e^{x} + e^{- x} |) + C$