대수 예제

$2 x^{4} - 5 x^{3} - 20 x^{2} + 115 x - 52$

Step 1

항을 다시 묶습니다.

$- 5 x^{3} - 20 x^{2} + 2 x^{4} + 115 x - 52$

Step 2

$- 5 x^{3} - 20 x^{2}$ 에서 $- 5 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 5 x^{3}$ 에서 $- 5 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- 5 x^{2} (x) - 20 x^{2} + 2 x^{4} + 115 x - 52$

$- 20 x^{2}$ 에서 $- 5 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- 5 x^{2} (x) - 5 x^{2} (4) + 2 x^{4} + 115 x - 52$

$- 5 x^{2} (x) - 5 x^{2} (4)$ 에서 $- 5 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- 5 x^{2} (x + 4) + 2 x^{4} + 115 x - 52$

Step 3

유리근 정리르 이용하여 $2 x^{4} + 115 x - 52$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 52, \pm 2, \pm 26, \pm 4, \pm 13 q = \pm 1, \pm 2$

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 52, \pm 26, \pm 2, \pm 13, \pm 4, \pm 6.5$

$- 4$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $- 4$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 4$ 을 다항식에 대입합니다.

$2 {(- 4)}^{4} + 115 \cdot - 4 - 52$

$- 4$ 를 $4$ 승 합니다.

$2 \cdot 256 + 115 \cdot - 4 - 52$

$2$ 에 $256$ 을 곱합니다.

$512 + 115 \cdot - 4 - 52$

$115$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$512 - 460 - 52$

$512$ 에서 $460$ 을 뺍니다.

$52 - 52$

$52$ 에서 $52$ 을 뺍니다.

$0$

$- 4$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x + 4$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{2 x^{4} + 115 x - 52}{x + 4}$

$2 x^{4} + 115 x - 52$ 을 $x + 4$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

피제수 $2 x^{4}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

식을 피제수에서 빼야 하므로 $2 x^{4} + 8 x^{3}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

피제수 $- 8 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 8 x^{3} - 32 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

피제수 $32 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

식을 피제수에서 빼야 하므로 $32 x^{2} + 128 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

피제수 $- 13 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$13$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$13$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

$13 x$

$52$

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 13 x - 52$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$13$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

$13 x$

$52$

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$13$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

$13 x$

$52$

$0$

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13$

$2 x^{4} + 115 x - 52$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$- 5 x^{2} (x + 4) + (x + 4) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13)$

Step 4

$- 5 x^{2} (x + 4) + (x + 4) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13)$ 에서 $x + 4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 5 x^{2} (x + 4)$ 에서 $x + 4$ 를 인수분해합니다.

$(x + 4) (- 5 x^{2}) + (x + 4) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13)$

$(x + 4) (- 5 x^{2}) + (x + 4) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13)$ 에서 $x + 4$ 를 인수분해합니다.

$(x + 4) (- 5 x^{2} + 2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13)$

Step 5

$- 5 x^{2}$ 에서 $8 x^{2}$ 을 뺍니다.

$(x + 4) (2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13)$

Step 6

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

유리근 정리르 이용하여 $2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 13 q = \pm 1, \pm 2$

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 13, \pm 6.5$

$0.5$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $0.5$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$0.5$ 을 다항식에 대입합니다.

$2 \cdot {0.5}^{3} - 13 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 13$

$0.5$ 를 $3$ 승 합니다.

$2 \cdot 0.125 - 13 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 13$

$2$ 에 $0.125$ 을 곱합니다.

$0.25 - 13 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 13$

$0.5$ 를 $2$ 승 합니다.

$0.25 - 13 \cdot 0.25 + 32 \cdot 0.5 - 13$

$- 13$ 에 $0.25$ 을 곱합니다.

$0.25 - 3.25 + 32 \cdot 0.5 - 13$

$0.25$ 에서 $3.25$ 을 뺍니다.

$- 3 + 32 \cdot 0.5 - 13$

$32$ 에 $0.5$ 을 곱합니다.

$- 3 + 16 - 13$

$- 3$ 를 $16$ 에 더합니다.

$13 - 13$

$13$ 에서 $13$ 을 뺍니다.

$0$

$0.5$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $2 x - 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13}{2 x - 1}$

$2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13$ 을 $2 x - 1$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$13 x^{2}$

$32 x$

$13$

피제수 $2 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $2 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

식을 피제수에서 빼야 하므로 $2 x^{3} - x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$

피제수 $- 12 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $2 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$6 x$

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 12 x^{2} + 6 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$

피제수 $26 x$ 의 고차항을 제수 $2 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$
							+	$26 x$	-	$13$

식을 피제수에서 빼야 하므로 $26 x - 13$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$
							-	$26 x$	+	$13$

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$
							-	$26 x$	+	$13$
										$0$

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$x^{2} - 6 x + 13$

$2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(x + 4) ((2 x - 1) (x^{2} - 6 x + 13))$

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x + 4) (2 x - 1) (x^{2} - 6 x + 13)$