대수 예제

$f (x) = x^{3} + 11 x^{2} + 23 x - 35$

Step 1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 7, \pm 35$

$q = \pm 1$

Step 2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 5, \pm 7, \pm 35$

Step 3

다항식에 해로 생각되는 값을 대입하여 해를 알아냅니다. 계산값이 $0$ 라면 대입값이 해임을 의미합니다.

${(1)}^{3} + 11 {(1)}^{2} + 23 (1) - 35$

Step 4

식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $x = 1$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$1 + 11 {(1)}^{2} + 23 (1) - 35$

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$1 + 11 \cdot 1 + 23 (1) - 35$

$11$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + 11 + 23 (1) - 35$

$23$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + 11 + 23 - 35$

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$1$ 를 $11$ 에 더합니다.

$12 + 23 - 35$

$12$ 를 $23$ 에 더합니다.

$35 - 35$

$35$ 에서 $35$ 을 뺍니다.

$0$

Step 5

$1$ 는 이미 구한 해이므로 다항식을 $x - 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 알아냅니다. 이 다항식은 다른 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{x^{3} + 11 x^{2} + 23 x - 35}{x - 1}$

Step 6

그 다음, 나머지 다항식의 근을 구합니다. 다항식의 차수는 $1$ 만큼 줄었습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$1$	$1$	$11$	$23$	$- 35$

피제수 $(1)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$1$	$1$	$11$	$23$	$- 35$

	$1$

제수 $(1)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(1)$ 을 곱하여 나온 값 $(1)$ 을 피제수 $(11)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$1$	$1$	$11$	$23$	$- 35$
		$1$
	$1$

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$1$	$1$	$11$	$23$	$- 35$
		$1$
	$1$	$12$

제수 $(1)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(12)$ 을 곱하여 나온 값 $(12)$ 을 피제수 $(23)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$1$	$1$	$11$	$23$	$- 35$
		$1$	$12$
	$1$	$12$

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$1$	$1$	$11$	$23$	$- 35$
		$1$	$12$
	$1$	$12$	$35$

제수 $(1)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(35)$ 을 곱하여 나온 값 $(35)$ 을 피제수 $(- 35)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$1$	$1$	$11$	$23$	$- 35$
		$1$	$12$	$35$
	$1$	$12$	$35$

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$1$	$1$	$11$	$23$	$- 35$
		$1$	$12$	$35$
	$1$	$12$	$35$	$0$

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$1 x^{2} + 12 x + 35$

몫 다항식을 간단히 합니다.

$x^{2} + 12 x + 35$

Step 7

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 12 x + 35$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $35$ 이고 합은 $12$ 입니다.

$5, 7$

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x - 1) + (x + 5) (x + 7)$

$(x - 1) (x + 5) (x + 7)$

Step 8

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

유리근 정리르 이용하여 $x^{3} + 11 x^{2} + 23 x - 35$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 35, \pm 5, \pm 7 q = \pm 1$

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 35, \pm 5, \pm 7$

$1$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $1$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$1$ 을 다항식에 대입합니다.

$1^{3} + 11 \cdot 1^{2} + 23 \cdot 1 - 35$

$1$ 를 $3$ 승 합니다.

$1 + 11 \cdot 1^{2} + 23 \cdot 1 - 35$

$1$ 를 $2$ 승 합니다.

$1 + 11 \cdot 1 + 23 \cdot 1 - 35$

$11$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + 11 + 23 \cdot 1 - 35$

$1$ 를 $11$ 에 더합니다.

$12 + 23 \cdot 1 - 35$

$23$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$12 + 23 - 35$

$12$ 를 $23$ 에 더합니다.

$35 - 35$

$35$ 에서 $35$ 을 뺍니다.

$0$

$1$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x - 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{x^{3} + 11 x^{2} + 23 x - 35}{x - 1}$

$x^{3} + 11 x^{2} + 23 x - 35$ 을 $x - 1$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$1$

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$23 x$

$35$

피제수 $x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{3} - x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$

피제수 $12 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$

식을 피제수에서 빼야 하므로 $12 x^{2} - 12 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$35 x$

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$35 x$	-	$35$

피제수 $35 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	+	$12 x$	+	$35$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$35 x$	-	$35$

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	+	$12 x$	+	$35$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$35 x$	-	$35$
							+	$35 x$	-	$35$

식을 피제수에서 빼야 하므로 $35 x - 35$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	+	$12 x$	+	$35$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$35 x$	-	$35$
							-	$35 x$	+	$35$

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	+	$12 x$	+	$35$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$35 x$	-	$35$
							-	$35 x$	+	$35$
										$0$

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$x^{2} + 12 x + 35$

$x^{3} + 11 x^{2} + 23 x - 35$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(x - 1) (x^{2} + 12 x + 35) = 0$

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 12 x + 35$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 12 x + 35$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $35$ 이고 합은 $12$ 입니다.

$5, 7$

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x - 1) ((x + 5) (x + 7)) = 0$

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x - 1) (x + 5) (x + 7) = 0$

Step 9

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

$x + 7 = 0$

Step 10

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

Step 11

$x + 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$x + 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 5 = 0$

방정식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$x = - 5$

Step 12

$x + 7$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$x + 7$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 7 = 0$

방정식의 양변에서 $7$ 를 뺍니다.

$x = - 7$

Step 13

$(x - 1) (x + 5) (x + 7) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 1, - 5, - 7$

Step 14