대수 예제

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & - 2 & - 1 \\ - 2 & - 3 & 0 \end{array}]$

Step 1

동일한 크기의 두 개의 행렬로 나뉜 행렬을 만듭니다. 왼쪽에는 원래 행렬의 원소를 적습니다. 오른쪽에는 단위행렬의 원소를 적습니다. 역행렬을 구하기 위해 행연산을 사용하여 왼쪽을 단위행렬로 만듭니다. 연산이 완료되면 이중행렬의 오른쪽에 원래 행렬의 역행렬이 계산됩니다

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 0 \\ - 2 & - 3 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Step 2

0이 제자리에 배치되도록 $3$ 행과 $2$ 행을 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ - 2 & - 3 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{3} \leftrightarrow R$

Step 3

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 행 연산 $R_{2} = 2 \cdot R_{1} + R_{2}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )을 행연산 $R_{2} = 2 \cdot R_{1} + R_{2}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 \cdot R_{1} + R_{2} & 2 \cdot R_{1} + R_{2} & 2 \cdot R_{1} + R_{2} & 2 \cdot R_{1} + R_{2} & 2 \cdot R_{1} + R_{2} & 2 \cdot R_{1} + R_{2} \\ 0 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{2} = 2 \cdot R_{1} + R_{2}$

행연산 $R_{2} = 2 \cdot R_{1} + R_{2}$ 에 대하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ (2) \cdot (1) - 2 & (2) \cdot (- 1) - 3 & (2) \cdot (- 1) + 0 & (2) \cdot (1) + 0 & (2) \cdot (0) + 0 & (2) \cdot (0) + 1 \\ 0 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{2} = 2 \cdot R_{1} + R_{2}$

$R_{2}$ ( $2$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & - 2 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Step 4

행의 일부 원소를 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 행 연산 $R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )을 행연산 $R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ - \frac{1}{5} R_{2} & - \frac{1}{5} R_{2} & - \frac{1}{5} R_{2} & - \frac{1}{5} R_{2} & - \frac{1}{5} R_{2} & - \frac{1}{5} R_{2} \\ 0 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$

행연산 $R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$ 에 대하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ (- \frac{1}{5}) \cdot (0) & (- \frac{1}{5}) \cdot (- 5) & (- \frac{1}{5}) \cdot (- 2) & (- \frac{1}{5}) \cdot (2) & (- \frac{1}{5}) \cdot (0) & (- \frac{1}{5}) \cdot (1) \\ 0 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$

$R_{2}$ ( $2$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Step 5

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 행 연산 $R_{1} = R_{2} + R_{1}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )을 행연산 $R_{1} = R_{2} + R_{1}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} R_{2} + R_{1} & R_{2} + R_{1} & R_{2} + R_{1} & R_{2} + R_{1} & R_{2} + R_{1} & R_{2} + R_{1} \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{1} = R_{2} + R_{1}$

행연산 $R_{1} = R_{2} + R_{1}$ 에 대하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 0 + 1 & 1 - 1 & \frac{2}{5} - 1 & - \frac{2}{5} + 1 & 0 + 0 & - \frac{1}{5} + 0 \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{1} = R_{2} + R_{1}$

$R_{1}$ ( $1$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Step 6

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{3}$ (행 $3$ )에 행 연산 $R_{3} = 2 \cdot R_{2} + R_{3}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{3}$ (행 $3$ )을 행연산 $R_{3} = 2 \cdot R_{2} + R_{3}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 2 \cdot R_{2} + R_{3} & 2 \cdot R_{2} + R_{3} & 2 \cdot R_{2} + R_{3} & 2 \cdot R_{2} + R_{3} & 2 \cdot R_{2} + R_{3} & 2 \cdot R_{2} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = 2 \cdot R_{2} + R_{3}$

행연산 $R_{3} = 2 \cdot R_{2} + R_{3}$ 에 대하여 $R_{3}$ (행 $3$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ (2) \cdot (0) + 0 & (2) \cdot (1) - 2 & (2) \cdot (\frac{2}{5}) - 1 & (2) \cdot (- \frac{2}{5}) + 0 & (2) \cdot (0) + 1 & (2) \cdot (- \frac{1}{5}) + 0 \end{array}]$

$R_{3} = 2 \cdot R_{2} + R_{3}$

$R_{3}$ ( $3$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & - \frac{1}{5} & - \frac{4}{5} & 1 & - \frac{2}{5} \end{array}]$

Step 7

행의 일부 원소를 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{3}$ (행 $3$ )에 행 연산 $R_{3} = - 5 \cdot R_{3}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{3}$ (행 $3$ )을 행연산 $R_{3} = - 5 \cdot R_{3}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ - 5 \cdot R_{3} & - 5 \cdot R_{3} & - 5 \cdot R_{3} & - 5 \cdot R_{3} & - 5 \cdot R_{3} & - 5 \cdot R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = - 5 \cdot R_{3}$

행연산 $R_{3} = - 5 \cdot R_{3}$ 에 대하여 $R_{3}$ (행 $3$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ (- 5) \cdot (0) & (- 5) \cdot (0) & (- 5) \cdot (- \frac{1}{5}) & (- 5) \cdot (- \frac{4}{5}) & (- 5) \cdot (1) & (- 5) \cdot (- \frac{2}{5}) \end{array}]$

$R_{3} = - 5 \cdot R_{3}$

$R_{3}$ ( $3$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & 4 & - 5 & 2 \end{array}]$

Step 8

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 행 연산 $R_{1} = \frac{3}{5} R_{3} + R_{1}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )을 행연산 $R_{1} = \frac{3}{5} R_{3} + R_{1}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} R_{3} + R_{1} & \frac{3}{5} R_{3} + R_{1} & \frac{3}{5} R_{3} + R_{1} & \frac{3}{5} R_{3} + R_{1} & \frac{3}{5} R_{3} + R_{1} & \frac{3}{5} R_{3} + R_{1} \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & 4 & - 5 & 2 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{3}{5} R_{3} + R_{1}$

행연산 $R_{1} = \frac{3}{5} R_{3} + R_{1}$ 에 대하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} (\frac{3}{5}) \cdot (0) + 1 & (\frac{3}{5}) \cdot (0) + 0 & (\frac{3}{5}) \cdot (1) - \frac{3}{5} & (\frac{3}{5}) \cdot (4) + \frac{3}{5} & (\frac{3}{5}) \cdot (- 5) + 0 & (\frac{3}{5}) \cdot (2) - \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & 4 & - 5 & 2 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{3}{5} R_{3} + R_{1}$

$R_{1}$ ( $1$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 & - 3 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & 4 & - 5 & 2 \end{array}]$

Step 9

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 행 연산 $R_{2} = - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )을 행연산 $R_{2} = - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 & - 3 & 1 \\ - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2} & - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2} & - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2} & - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2} & - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2} & - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2} \\ 0 & 0 & 1 & 4 & - 5 & 2 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2}$

행연산 $R_{2} = - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2}$ 에 대하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 & - 3 & 1 \\ (- \frac{2}{5}) \cdot (0) + 0 & (- \frac{2}{5}) \cdot (0) + 1 & (- \frac{2}{5}) \cdot (1) + \frac{2}{5} & (- \frac{2}{5}) \cdot (4) - \frac{2}{5} & (- \frac{2}{5}) \cdot (- 5) + 0 & (- \frac{2}{5}) \cdot (2) - \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & 4 & - 5 & 2 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2}$

$R_{2}$ ( $2$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 & - 3 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 & 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & - 5 & 2 \end{array}]$

Step 10

이제 중복 행렬의 우변은 원래 행렬의 역행렬이 됩니다.

$[\begin{array}{c} 3 & - 3 & 1 \\ - 2 & 2 & - 1 \\ 4 & - 5 & 2 \end{array}]$