대수 예제

$x^{3} - 7 x^{2} - x + 7 \geq 0$

Step 1

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$x^{3} - 7 x^{2} - x + 7 = 0$

Step 2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(x^{3} - 7 x^{2}) - x + 7 = 0$

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$x^{2} (x - 7) - (x - 7) = 0$

최대공약수 $x - 7$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(x - 7) (x^{2} - 1) = 0$

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x - 7) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$(x - 7) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x - 7) (x + 1) (x - 1) = 0$

Step 3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 7 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Step 4

$x - 7$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$x - 7$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 7 = 0$

방정식의 양변에 $7$ 를 더합니다.

$x = 7$

Step 5

$x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

Step 6

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

Step 7

$(x - 7) (x + 1) (x - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 7, - 1, 1$

Step 8

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 7$

$x > 7$

Step 9

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$x < - 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$x < - 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 4$

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 4$ 로 치환합니다.

${(- 4)}^{3} - 7 {(- 4)}^{2} - (- 4) + 7 \geq 0$

좌변 $- 165$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

$- 1 < x < 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 1 < x < 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

${(0)}^{3} - 7 {(0)}^{2} - (0) + 7 \geq 0$

좌변 $7$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

$1 < x < 7$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$1 < x < 7$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 4$

원래 부등식에서 $x$ 를 $4$ 로 치환합니다.

${(4)}^{3} - 7 {(4)}^{2} - (4) + 7 \geq 0$

좌변 $- 45$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

$x > 7$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$x > 7$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 10$

원래 부등식에서 $x$ 를 $10$ 로 치환합니다.

${(10)}^{3} - 7 {(10)}^{2} - (10) + 7 \geq 0$

좌변 $297$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 1$ 거짓

$- 1 < x < 1$ 참

$1 < x < 7$ 거짓

$x > 7$ 참

$x < - 1$ 거짓

$- 1 < x < 1$ 참

$1 < x < 7$ 거짓

$x > 7$ 참

Step 10

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- 1 \leq x \leq 1$ 또는 $x \geq 7$

Step 11

부등식을 구간 표기로 표현합니다.

$[- 1, 1] \cup [7, \infty)$

Step 12