기초 미적분 예제

$y = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$

단계 1

$x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27 = 0$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 2.1.1

항을 다시 묶습니다.

$x^{3} + 27 + 9 x^{2} + 27 x = 0$

단계 2.1.2

$27$ 을 $3^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{3} + 3^{3} + 9 x^{2} + 27 x = 0$

단계 2.1.3

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 합 공식 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 3$ 입니다.

$(x + 3) (x^{2} - x \cdot 3 + 3^{2}) + 9 x^{2} + 27 x = 0$

단계 2.1.4

간단히 합니다.

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단계 2.1.4.1

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 3^{2}) + 9 x^{2} + 27 x = 0$

단계 2.1.4.2

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x^{2} + 27 x = 0$

단계 2.1.5

$9 x^{2} + 27 x$ 에서 $9 x$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.5.1

$9 x^{2}$ 에서 $9 x$ 를 인수분해합니다.

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x) + 27 x = 0$

단계 2.1.5.2

$27 x$ 에서 $9 x$ 를 인수분해합니다.

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x) + 9 x (3) = 0$

단계 2.1.5.3

$9 x (x) + 9 x (3)$ 에서 $9 x$ 를 인수분해합니다.

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x + 3) = 0$

단계 2.1.6

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x + 3)$ 에서 $x + 3$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.6.1

$9 x (x + 3)$ 에서 $x + 3$ 를 인수분해합니다.

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + (x + 3) (9 x) = 0$

단계 2.1.6.2

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + (x + 3) (9 x)$ 에서 $x + 3$ 를 인수분해합니다.

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9 + 9 x) = 0$

단계 2.1.7

$- 3 x$ 를 $9 x$ 에 더합니다.

$(x + 3) (x^{2} + 6 x + 9) = 0$

단계 2.1.8

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 2.1.8.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x + 3) (x^{2} + 6 x + 3^{2}) = 0$

단계 2.1.8.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

단계 2.1.8.3

다항식을 다시 씁니다.

$(x + 3) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

단계 2.1.8.4

$a = x$ 이고 $b = 3$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$(x + 3) {(x + 3)}^{2} = 0$

단계 2.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 3 = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

단계 2.3

$x + 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.3.1

$x + 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 3 = 0$

단계 2.3.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x = - 3$

단계 2.4

최종 해는 $(x + 3) {(x + 3)}^{2} = 0$ 이 참이 되게 하는 모든 값입니다. 근의 중복도는 근이 나타나는 횟수입니다.

$x = - 3$ ( $3$ 의 중복도)

단계 3

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