미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{1 - y^{2}}$

단계 1

변수를 분리합니다.

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단계 1.1

양변에 $1 - y^{2}$ 을 곱합니다.

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = (1 - y^{2}) \frac{x^{2}}{1 - y^{2}}$

단계 1.2

간단히 합니다.

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단계 1.2.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.2.1.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = (1 - y^{2}) \frac{x^{2}}{1^{2} - y^{2}}$

단계 1.2.1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = y$ 입니다.

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = (1 - y^{2}) \frac{x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$

단계 1.2.2

$1 - y^{2}$ 에 $\frac{x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$ 을 곱합니다.

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y^{2}) x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$

단계 1.2.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1^{2} - y^{2}) x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$

단계 1.2.3.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = y$ 입니다.

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y) (1 - y) x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$

단계 1.2.4

$1 + y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y) (1 - y) x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$

단계 1.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) x^{2}}{1 - y}$

단계 1.2.5

$1 - y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) x^{2}}{1 - y}$

단계 1.2.5.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = x^{2}$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$(1 - y^{2}) d y = x^{2} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int 1 - y^{2} d y = \int x^{2} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

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단계 2.2.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int d y + \int - y^{2} d y = \int x^{2} d x$

단계 2.2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} + \int - y^{2} d y = \int x^{2} d x$

단계 2.2.3

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} - \int y^{2} d y = \int x^{2} d x$

단계 2.2.4

멱의 법칙에 의해 $y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} y^{3}$ 가 됩니다.

$y + C_{1} - (\frac{1}{3} y^{3} + C_{2}) = \int x^{2} d x$

단계 2.2.5

간단히 합니다.

$y - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = \int x^{2} d x$

단계 2.2.6

항을 다시 정렬합니다.

$- \frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \int x^{2} d x$

단계 2.3

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$- \frac{1}{3} y^{3} + y = \frac{1}{3} x^{3} + K$

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