三角関数例

$\sin^{2} (2 x) = 1$

Step 1

方程式の両辺の平方根を取り、左辺の指数を消去します。

$\sin (2 x) = \pm \sqrt{1}$

Step 2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\sin (2 x) = \pm 1$

Step 3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\sin (2 x) = 1$

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\sin (2 x) = - 1$

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\sin (2 x) = 1, - 1$

Step 4

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\sin (2 x) = 1$

$\sin (2 x) = - 1$

Step 5

$\sin (2 x) = 1$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$2 x = \arcsin (1)$

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$\arcsin (1)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$2 x = \frac{π}{2}$

$2 x = \frac{π}{2}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2 x = \frac{π}{2}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

$\frac{π}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{π}{4}$

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$2 x = π - \frac{π}{2}$

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

$π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

公分母の分子をまとめます。

$2 x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

$π \cdot 2$ から $π$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

$π$ と $2$ を並べ替えます。

$2 x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

$2 \cdot π$ から $π$ を引きます。

$2 x = \frac{π}{2}$

$2 x = \frac{π}{2}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2 x = \frac{π}{2}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

$\frac{π}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{π}{4}$

$\sin (2 x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

周期の公式の $b$ を $2$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\frac{2 π}{2}$

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2}$

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

$\sin (2 x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

Step 6

$\sin (2 x) = - 1$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$2 x = \arcsin (- 1)$

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$\arcsin (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{2}$ です。

$2 x = - \frac{π}{2}$

$2 x = - \frac{π}{2}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2 x = - \frac{π}{2}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

$- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

$\frac{1}{2}$ に $\frac{π}{2}$ をかけます。

$x = - \frac{π}{2 \cdot 2}$

$2$ に $2$ をかけます。

$x = - \frac{π}{4}$

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$2 x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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$2 π + \frac{π}{2} + π$ から $2 π$ を引きます。

$2 x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

$\frac{3 π}{2}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{2} + π$ と隣接します。

$2 x = \frac{3 π}{2}$

$2 x = \frac{3 π}{2}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2 x = \frac{3 π}{2}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

$\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

$\frac{3 π}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{3 π}{4}$

$\sin (2 x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

周期の公式の $b$ を $2$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\frac{2 π}{2}$

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2}$

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

$π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

タップして手順をさらに表示してください…

$π$ を $- \frac{π}{4}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{4} + π$

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

$4 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{3 π}{4}$

新しい角をリストします。

$x = \frac{3 π}{4}$

$\sin (2 x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

Step 7

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

Step 8

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例