三角関数例

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = \cos^{2} (y) - \sin^{2} (y)$

ステップ 2

$y$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式を $\cos^{2} (y) - \sin^{2} (y) = x$ として書き換えます。

$\cos^{2} (y) - \sin^{2} (y) = x$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$\cos^{2} (y) - \sin^{2} (y) - x = 0$

ステップ 2.3

余弦2倍角の公式を当てはめます。

$\cos (2 y) - x = 0$

ステップ 2.4

$y$ について解きます。

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ステップ 2.4.1

方程式の両辺に $x$ を足します。

$\cos (2 y) = x$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $y$ を取り出します。

$2 y = \arccos (x)$

ステップ 2.4.3

$2 y = \arccos (x)$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.3.1

$2 y = \arccos (x)$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (x)}{2}$

ステップ 2.4.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (x)}{2}$

ステップ 2.4.3.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\arccos (x)}{2}$

ステップ 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{2}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{2}$ が $f (x) = \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ の逆か確認します。

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ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = \frac{\arccos (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))}{2}$

ステップ 4.2.3

余弦2倍角の公式を当てはめます。

$f^{- 1} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = \frac{\arccos (\cos (2 x))}{2}$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{\arccos (x)}{2})$ の値を求めます。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin^{2} (\frac{\arccos (x)}{2})$

ステップ 4.3.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \cos (\frac{\arccos (x)}{2})$ であり、 $b = \sin (\frac{\arccos (x)}{2})$ です。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = (\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2})) (\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

ステップ 4.3.4

分配法則（FOIL法）を使って $(\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2})) (\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$ を展開します。

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ステップ 4.3.4.1

分配則を当てはめます。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) (\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin (\frac{\arccos (x)}{2})) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

ステップ 4.3.4.2

分配則を当てはめます。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2})) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

ステップ 4.3.4.3

分配則を当てはめます。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2})) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

ステップ 4.3.5

項を簡約します。

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ステップ 4.3.5.1

$\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2})) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.3.5.1.1

$\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$ と $\sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2})$ について因数を並べ替えます。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) - \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) + \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

ステップ 4.3.5.1.2

$- \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2})$ と $\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2})$ をたし算します。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + 0 + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

ステップ 4.3.5.1.3

$\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2})$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

ステップ 4.3.5.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.5.2.1

$\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2})$ を掛けます。

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ステップ 4.3.5.2.1.1

$\cos (\frac{\arccos (x)}{2})$ を $1$ 乗します。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

ステップ 4.3.5.2.1.2

$\cos (\frac{\arccos (x)}{2})$ を $1$ 乗します。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

ステップ 4.3.5.2.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = {\cos (\frac{\arccos (x)}{2})}^{1 + 1} + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

ステップ 4.3.5.2.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

ステップ 4.3.5.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2})$

ステップ 4.3.5.2.3

$- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.2.3.1

$\sin (\frac{\arccos (x)}{2})$ を $1$ 乗します。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) - (\sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

ステップ 4.3.5.2.3.2

$\sin (\frac{\arccos (x)}{2})$ を $1$ 乗します。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) - (\sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

ステップ 4.3.5.2.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) - {\sin (\frac{\arccos (x)}{2})}^{1 + 1}$

ステップ 4.3.5.2.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin^{2} (\frac{\arccos (x)}{2})$

ステップ 4.3.6

余弦2倍角の公式を当てはめます。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (2 (\frac{\arccos (x)}{2}))$

ステップ 4.3.7

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.7.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (2 (\frac{\arccos (x)}{2}))$

ステップ 4.3.7.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\arccos (x))$

ステップ 4.3.8

関数の余弦と逆余弦は逆です。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{2}$ は $f (x) = \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{2}$

三角関数 例

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