微分積分学準備例

$y = 3^{x} + 2$

Step 1

変数を入れ替えます。

$x = 3^{y} + 2$

Step 2

$y$ について解きます。

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方程式を $3^{y} + 2 = x$ として書き換えます。

$3^{y} + 2 = x$

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$3^{y} = x - 2$

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (3^{y}) = \ln (x - 2)$

$y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (3^{y})$ を展開します。

$y \ln (3) = \ln (x - 2)$

$y \ln (3) = \ln (x - 2)$ の各項を $\ln (3)$ で割り、簡約します。

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$y \ln (3) = \ln (x - 2)$ の各項を $\ln (3)$ で割ります。

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$

左辺を簡約します。

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$\ln (3)$ の共通因数を約分します。

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共通因数を約分します。

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$

Step 4

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$ が $f (x) = 3^{x} + 2$ の逆か確認します。

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逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (3^{x} + 2)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = \frac{\ln ((3^{x} + 2) - 2)}{\ln (3)}$

$3^{x} + 2 - 2$ の反対側の項を組み合わせます。

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$2$ から $2$ を引きます。

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = \frac{\ln (3^{x} + 0)}{\ln (3)}$

$3^{x}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = \frac{\ln (3^{x})}{\ln (3)}$

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (3^{x})$ を展開します。

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

$\ln (3)$ の共通因数を約分します。

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共通因数を約分します。

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = x$

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)})$ の値を求めます。

$f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}) = 3^{\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}} + 2$

各項を簡約します。

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底の変換公式 $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ を利用します。

$f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}) = 3^{\log_{3} (x - 2)} + 2$

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}) = x - 2 + 2$

$x - 2 + 2$ の反対側の項を組み合わせます。

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$- 2$ と $2$ をたし算します。

$f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}) = x + 0$

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}) = x$

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$ は $f (x) = 3^{x} + 2$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$

微分積分学準備 例

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