微分積分学準備例

$x^{2} - x \geq 2$

Step 1

不等式を方程式に変換します。

$x^{2} - x = 2$

Step 2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x^{2} - x - 2 = 0$

Step 3

たすき掛けを利用して $x^{2} - x - 2$ を因数分解します。

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$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 2$ で、その和が $- 1$ です。

$- 2, 1$

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 2) (x + 1) = 0$

$(x - 2) (x + 1) = 0$

Step 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Step 5

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

$x = 2$

Step 6

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

$x = - 1$

Step 7

最終解は $(x - 2) (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2, - 1$

Step 8

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 1$

$- 1 < x < 2$

$x > 2$

Step 9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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区間 $x < - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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区間 $x < - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

${(- 4)}^{2} - (- 4) \geq 2$

左辺 $20$ は右辺 $2$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

True

区間 $- 1 < x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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区間 $- 1 < x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

${(0)}^{2} - (0) \geq 2$

左辺 $0$ は右辺 $2$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

False

区間 $x > 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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区間 $x > 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

${(4)}^{2} - (4) \geq 2$

左辺 $12$ は右辺 $2$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

True

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 1$ 真

$- 1 < x < 2$ 偽

$x > 2$ 真

$x < - 1$ 真

$- 1 < x < 2$ 偽

$x > 2$ 真

Step 10

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq - 1$ または $x \geq 2$

Step 11

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, - 1] \cup [2, \infty)$

Step 12

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$