微分積分学準備例

$\frac{x}{x^{2} + 5 x + 6}$

Step 1

分数を分解し、公分母を掛けます。

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たすき掛けを利用して $x^{2} + 5 x + 6$ を因数分解します。

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$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $6$ で、その和が $5$ です。

$2, 3$

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{x}{(x + 2) (x + 3)}$

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x + 2}$

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x + 3}$

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(x + 2) (x + 3)$ です。

$\frac{x (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)} = \frac{(A) (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

$x + 2$ の共通因数を約分します。

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共通因数を約分します。

$\frac{x (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)} = \frac{(A) (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

式を書き換えます。

$\frac{x (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

$x + 3$ の共通因数を約分します。

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共通因数を約分します。

$\frac{x (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{(A) (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

各項を簡約します。

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$x + 2$ の共通因数を約分します。

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共通因数を約分します。

$x = \frac{A (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

$(A) (x + 3)$ を $1$ で割ります。

$x = (A) (x + 3) + \frac{(B) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

分配則を当てはめます。

$x = A x + A \cdot 3 + \frac{(B) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

$3$ を $A$ の左に移動させます。

$x = A x + 3 \cdot A + \frac{(B) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

$x + 3$ の共通因数を約分します。

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共通因数を約分します。

$x = A x + 3 A + \frac{(B) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

$(B) (x + 2)$ を $1$ で割ります。

$x = A x + 3 A + (B) (x + 2)$

分配則を当てはめます。

$x = A x + 3 A + B x + B \cdot 2$

$2$ を $B$ の左に移動させます。

$x = A x + 3 A + B x + 2 B$

$3 A$ を移動させます。

$x = A x + B x + 3 A + 2 B$

Step 2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = A + B$

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = 3 A + 2 B$

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$1 = A + B$

$0 = 3 A + 2 B$

$1 = A + B$

$0 = 3 A + 2 B$

Step 3

連立方程式を解きます。

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$1 = A + B$ の $A$ について解きます。

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方程式を $A + B = 1$ として書き換えます。

$A + B = 1$

$0 = 3 A + 2 B$

方程式の両辺から $B$ を引きます。

$A = 1 - B$

$0 = 3 A + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = 3 A + 2 B$

各方程式の $A$ のすべての発生を $1 - B$ で置き換えます。

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$0 = 3 A + 2 B$ の $A$ のすべての発生を $1 - B$ で置き換えます。

$0 = 3 (1 - B) + 2 B$

$A = 1 - B$

右辺を簡約します。

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$3 (1 - B) + 2 B$ を簡約します。

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各項を簡約します。

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分配則を当てはめます。

$0 = 3 \cdot 1 + 3 (- B) + 2 B$

$A = 1 - B$

$3$ に $1$ をかけます。

$0 = 3 + 3 (- B) + 2 B$

$A = 1 - B$

$- 1$ に $3$ をかけます。

$0 = 3 - 3 B + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = 3 - 3 B + 2 B$

$A = 1 - B$

$- 3 B$ と $2 B$ をたし算します。

$0 = 3 - B$

$A = 1 - B$

$0 = 3 - B$

$A = 1 - B$

$0 = 3 - B$

$A = 1 - B$

$0 = 3 - B$

$A = 1 - B$

$0 = 3 - B$ の $B$ について解きます。

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方程式を $3 - B = 0$ として書き換えます。

$3 - B = 0$

$A = 1 - B$

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$- B = - 3$

$A = 1 - B$

$- B = - 3$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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$- B = - 3$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- B}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

$A = 1 - B$

左辺を簡約します。

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2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{B}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

$A = 1 - B$

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{- 3}{- 1}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 3}{- 1}$

$A = 1 - B$

右辺を簡約します。

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$- 3$ を $- 1$ で割ります。

$B = 3$

$A = 1 - B$

$B = 3$

$A = 1 - B$

$B = 3$

$A = 1 - B$

$B = 3$

$A = 1 - B$

各方程式の $B$ のすべての発生を $3$ で置き換えます。

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$A = 1 - B$ の $B$ のすべての発生を $3$ で置き換えます。

$A = 1 - (3)$

$B = 3$

右辺を簡約します。

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$1 - (3)$ を簡約します。

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$- 1$ に $3$ をかけます。

$A = 1 - 3$

$B = 3$

$1$ から $3$ を引きます。

$A = - 2$

$B = 3$

$A = - 2$

$B = 3$

$A = - 2$

$B = 3$

$A = - 2$

$B = 3$

すべての解をまとめます。

$A = - 2, B = 3$

Step 4

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x + 3}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{- 2}{x + 2} + \frac{3}{x + 3}$

微分積分学準備 例

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