微分積分学準備例

$(1, 2)$ , $(2, 9)$

ステップ 1

2つのベクトル間の角を求める式 $θ$ は、2つのベクトルのドット積は、ベクトルの大きさの積とベクトル間の角の余弦に等しいことを表します。

$u \cdot v = | u | | v | c o s (θ)$

ステップ 2

$θ$ について方程式を解きます。

$θ = a r c \cdot c o s (\frac{u \cdot v}{| u | | v |})$

ステップ 3

ベクトルのドット積を求めます。

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ステップ 3.1

ドット積を求めるために、ベクトルの対応する成分の積を和を求めます。

$u \cdot v = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2}$

ステップ 3.2

ベクトル成分を式に代入します。

$1 \cdot 2 + 2 \cdot 9$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

括弧を削除します。

$1 \cdot 2 + 2 \cdot 9$

ステップ 3.3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + 2 \cdot 9$

ステップ 3.3.2.2

$2$ に $9$ をかけます。

$2 + 18$

ステップ 3.3.3

$2$ と $18$ をたし算します。

$20$

ステップ 4

$u$ の大きさを求めます。

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ステップ 4.1

ベクトルの大きさを求めるために、ベクトルの成分を2乗した和の平方根を求めます。

$\sqrt{{(u_{1})}^{2} + {(u_{2})}^{2}}$

ステップ 4.2

ベクトル成分を式に代入します。

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(2)}^{2}}$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\sqrt{1 + {(2)}^{2}}$

ステップ 4.3.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{1 + 4}$

ステップ 4.3.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$\sqrt{5}$

ステップ 5

$v$ の大きさを求めます。

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ステップ 5.1

ベクトルの大きさを求めるために、ベクトルの成分を2乗した和の平方根を求めます。

$\sqrt{{(u_{1})}^{2} + {(u_{2})}^{2}}$

ステップ 5.2

ベクトル成分を式に代入します。

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(9)}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{4 + {(9)}^{2}}$

ステップ 5.3.2

$9$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{4 + 81}$

ステップ 5.3.3

$4$ と $81$ をたし算します。

$\sqrt{85}$

ステップ 6

値をベクトル間の角の方程式に代入します。

$θ = \arccos (\frac{20}{(\sqrt{5}) \cdot (\sqrt{85})})$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分母を簡約します。

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ステップ 7.1.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$\arccos (\frac{20}{\sqrt{5 \cdot 85}})$

ステップ 7.1.2

$5$ に $85$ をかけます。

$\arccos (\frac{20}{\sqrt{425}})$

ステップ 7.2

分母を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$425$ を $5^{2} \cdot 17$ に書き換えます。

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ステップ 7.2.1.1

$25$ を $425$ で因数分解します。

$\arccos (\frac{20}{\sqrt{25 (17)}})$

ステップ 7.2.1.2

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\arccos (\frac{20}{\sqrt{5^{2} \cdot 17}})$

ステップ 7.2.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\arccos (\frac{20}{5 \sqrt{17}})$

ステップ 7.3

$20$ と $5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1

$5$ を $20$ で因数分解します。

$\arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 \sqrt{17}})$

ステップ 7.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.2.1

$5$ を $5 \sqrt{17}$ で因数分解します。

$\arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 (\sqrt{17})})$

ステップ 7.3.2.2

共通因数を約分します。

$\arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 \sqrt{17}})$

ステップ 7.3.2.3

式を書き換えます。

$\arccos (\frac{4}{\sqrt{17}})$

ステップ 7.4

$\frac{4}{\sqrt{17}}$ に $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ をかけます。

$\arccos (\frac{4}{\sqrt{17}} \cdot \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}})$

ステップ 7.5

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 7.5.1

$\frac{4}{\sqrt{17}}$ に $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ をかけます。

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{\sqrt{17} \sqrt{17}})$

ステップ 7.5.2

$\sqrt{17}$ を $1$ 乗します。

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1} \sqrt{17}})$

ステップ 7.5.3

$\sqrt{17}$ を $1$ 乗します。

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1} {\sqrt{17}}^{1}})$

ステップ 7.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1 + 1}})$

ステップ 7.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{2}})$

ステップ 7.5.6

${\sqrt{17}}^{2}$ を $17$ に書き換えます。

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ステップ 7.5.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{17}$ を $17^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{(17^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

ステップ 7.5.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

ステップ 7.5.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 7.5.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.5.6.4.1

共通因数を約分します。

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 7.5.6.4.2

式を書き換えます。

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{1}})$

ステップ 7.5.6.5

指数を求めます。

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17})$

ステップ 7.6

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17})$ の値を求めます。

$0.24497866$

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