微分積分学準備例

$f (x) = 2 x^{2} + 5$

Step 1

$f (x) = 2 x^{2} + 5$ を方程式で書きます。

$y = 2 x^{2} + 5$

Step 2

変数を入れ替えます。

$x = 2 y^{2} + 5$

Step 3

$y$ について解きます。

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方程式を $2 y^{2} + 5 = x$ として書き換えます。

$2 y^{2} + 5 = x$

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$2 y^{2} = x - 5$

$2 y^{2} = x - 5$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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$2 y^{2} = x - 5$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 5}{2}$

左辺を簡約します。

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$2$ の共通因数を約分します。

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共通因数を約分します。

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 5}{2}$

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 5}{2}$

右辺を簡約します。

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分数の前に負数を移動させます。

$y^{2} = \frac{x}{2} - \frac{5}{2}$

方程式の両辺の平方根を取り、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{2} - \frac{5}{2}}$

$\pm \sqrt{\frac{x}{2} - \frac{5}{2}}$ を簡約します。

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公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x - 5}{2}}$

$\sqrt{\frac{x - 5}{2}}$ を $\frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{2}}$

$\frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

分母を組み合わせて簡約します。

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$\frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

$2$ の共通因数を約分します。

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共通因数を約分します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

式を書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{2^{1}}$

指数を求めます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{2}$

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{(x - 5) \cdot 2}}{2}$

$\pm \frac{\sqrt{(x - 5) \cdot 2}}{2}$ の因数を並べ替えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

Step 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

Step 5

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$ が $f (x) = 2 x^{2} + 5$ の逆か確認します。

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逆の定義域は元の関数の値域です、逆も同じです。定義域と $f (x) = 2 x^{2} + 5$ の値域、 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$ を求め、それらを比較します。

$f (x) = 2 x^{2} + 5$ の値域を求めます。

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値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[5, \infty)$

$\frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$ の定義域を求めます。

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$\sqrt{2 (x - 5)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$2 (x - 5) \geq 0$

$x$ について解きます。

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$2 (x - 5) \geq 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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$2 (x - 5) \geq 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 (x - 5)}{2} \geq \frac{0}{2}$

左辺を簡約します。

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$2$ の共通因数を約分します。

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共通因数を約分します。

$\frac{2 (x - 5)}{2} \geq \frac{0}{2}$

$x - 5$ を $1$ で割ります。

$x - 5 \geq \frac{0}{2}$

右辺を簡約します。

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$0$ を $2$ で割ります。

$x - 5 \geq 0$

不等式の両辺に $5$ を足します。

$x \geq 5$

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$[5, \infty)$

$f (x) = 2 x^{2} + 5$ の定義域を求めます。

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式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

$(- \infty, \infty)$

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$ の定義域が $f (x) = 2 x^{2} + 5$ の範囲で、 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$ の範囲が $f (x) = 2 x^{2} + 5$ の定義域なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$ は $f (x) = 2 x^{2} + 5$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

Step 6

微分積分学準備 例

微分積分学準備例