微分積分学準備例

$f (x) = \sqrt{2 x - 3} + 3 - x$

ステップ 1

$\sqrt{2 x - 3} + 3 - x$ が $0$ に等しいとします。

$\sqrt{2 x - 3} + 3 - x = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

$\sqrt{2 x - 3}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.1.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$\sqrt{2 x - 3} - x = - 3$

ステップ 2.1.2

方程式の両辺に $x$ を足します。

$\sqrt{2 x - 3} = - 3 + x$

ステップ 2.2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{2 x - 3}}^{2} = {(- 3 + x)}^{2}$

ステップ 2.3

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 x - 3}$ を ${(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3 + x)}^{2}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

${({(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1.1

${({(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(2 x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3 + x)}^{2}$

ステップ 2.3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(2 x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3 + x)}^{2}$

ステップ 2.3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(2 x - 3)}^{1} = {(- 3 + x)}^{2}$

ステップ 2.3.2.1.2

簡約します。

$2 x - 3 = {(- 3 + x)}^{2}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

${(- 3 + x)}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1.1

${(- 3 + x)}^{2}$ を $(- 3 + x) (- 3 + x)$ に書き換えます。

$2 x - 3 = (- 3 + x) (- 3 + x)$

ステップ 2.3.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- 3 + x) (- 3 + x)$ を展開します。

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ステップ 2.3.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$2 x - 3 = - 3 (- 3 + x) + x (- 3 + x)$

ステップ 2.3.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$2 x - 3 = - 3 \cdot - 3 - 3 x + x (- 3 + x)$

ステップ 2.3.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$2 x - 3 = - 3 \cdot - 3 - 3 x + x \cdot - 3 + x \cdot x$

ステップ 2.3.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.3.3.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1.3.1.1

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$2 x - 3 = 9 - 3 x + x \cdot - 3 + x \cdot x$

ステップ 2.3.3.1.3.1.2

$- 3$ を $x$ の左に移動させます。

$2 x - 3 = 9 - 3 x - 3 \cdot x + x \cdot x$

ステップ 2.3.3.1.3.1.3

$x$ に $x$ をかけます。

$2 x - 3 = 9 - 3 x - 3 x + x^{2}$

ステップ 2.3.3.1.3.2

$- 3 x$ から $3 x$ を引きます。

$2 x - 3 = 9 - 6 x + x^{2}$

ステップ 2.4

$x$ について解きます。

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ステップ 2.4.1

$x$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$9 - 6 x + x^{2} = 2 x - 3$

ステップ 2.4.2

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺から $2 x$ を引きます。

$9 - 6 x + x^{2} - 2 x = - 3$

ステップ 2.4.2.2

$- 6 x$ から $2 x$ を引きます。

$9 + x^{2} - 8 x = - 3$

ステップ 2.4.3

方程式の両辺に $3$ を足します。

$9 + x^{2} - 8 x + 3 = 0$

ステップ 2.4.4

$9$ と $3$ をたし算します。

$x^{2} - 8 x + 12 = 0$

ステップ 2.4.5

たすき掛けを利用して $x^{2} - 8 x + 12$ を因数分解します。

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ステップ 2.4.5.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $12$ で、その和が $- 8$ です。

$- 6, - 2$

ステップ 2.4.5.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 6) (x - 2) = 0$

ステップ 2.4.6

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 6 = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 2.4.7

$x - 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.7.1

$x - 6$ が $0$ に等しいとします。

$x - 6 = 0$

ステップ 2.4.7.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x = 6$

ステップ 2.4.8

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.8.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.4.8.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 2.4.9

最終解は $(x - 6) (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 6, 2$

ステップ 2.5

$\sqrt{2 x - 3} + 3 - x = 0$ が真にならない解を除外します。

$x = 6$

ステップ 3

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