微分積分学準備例

$\log_{3} (x + 4) + \log_{3} (x - 4) = 2$

Step 1

左辺を簡約します。

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対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\log_{3} ((x + 4) (x - 4)) = 2$

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 4) (x - 4)$ を展開します。

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分配則を当てはめます。

$\log_{3} (x (x - 4) + 4 (x - 4)) = 2$

分配則を当てはめます。

$\log_{3} (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x - 4)) = 2$

分配則を当てはめます。

$\log_{3} (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4) = 2$

項を簡約します。

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$x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4$ の反対側の項を組み合わせます。

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$x \cdot - 4$ と $4 x$ について因数を並べ替えます。

$\log_{3} (x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4) = 2$

$- 4 x$ と $4 x$ をたし算します。

$\log_{3} (x \cdot x + 0 + 4 \cdot - 4) = 2$

$x \cdot x$ と $0$ をたし算します。

$\log_{3} (x \cdot x + 4 \cdot - 4) = 2$

各項を簡約します。

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$x$ に $x$ をかけます。

$\log_{3} (x^{2} + 4 \cdot - 4) = 2$

$4$ に $- 4$ をかけます。

$\log_{3} (x^{2} - 16) = 2$

Step 2

対数の定義を利用して $\log_{3} (x^{2} - 16) = 2$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$3^{2} = x^{2} - 16$

Step 3

$x$ について解きます。

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方程式を $x^{2} - 16 = 3^{2}$ として書き換えます。

$x^{2} - 16 = 3^{2}$

$3$ を $2$ 乗します。

$x^{2} - 16 = 9$

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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方程式の両辺に $16$ を足します。

$x^{2} = 9 + 16$

$9$ と $16$ をたし算します。

$x^{2} = 25$

方程式の両辺の平方根を取り、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{25}$

$\pm \sqrt{25}$ を簡約します。

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$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 5$

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 5$

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 5$

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 5, - 5$

Step 4

$\log_{3} (x + 4) + \log_{3} (x - 4) = 2$ が真にならない解を除外します。

$x = 5$

微分積分学準備 例

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