微分積分例

$y = x + \frac{1}{x}$

Step 1

$y = x + \frac{1}{x}$ を関数で書きます。

$f (x) = x + \frac{1}{x}$

Step 2

関数の一次導関数を求めます。

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微分します。

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総和則では、 $x + \frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 - x^{- 2}$

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$1 - \frac{1}{x^{2}}$

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{x^{2}} + 1$

Step 3

関数の二次導関数を求めます。

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総和則では、 $- \frac{1}{x^{2}} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ の値を求めます。

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$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

${(x^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

$1$ から $4$ を引きます。

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

$\frac{1}{x^{2}}$ に $0$ をかけます。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} (1)$

$2 x^{- 3}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (1)$

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 0$

簡約します。

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負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x^{3}}) + 0$

項をまとめます。

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$2$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} + 0$

$\frac{2}{x^{3}}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

Step 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Step 5

一次導関数を求めます。

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一次導関数を求めます。

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微分します。

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総和則では、 $x + \frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ の値を求めます。

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$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 1 - x^{- 2}$

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (x) = 1 - \frac{1}{x^{2}}$

項を並べ替えます。

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 1$

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{1}{x^{2}} + 1$ です。

$- \frac{1}{x^{2}} + 1$

Step 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$ を解きます。

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一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- \frac{1}{x^{2}} = - 1$

方程式の項の最小公分母を求めます。

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値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x^{2}, 1$

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x^{2}$

$- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ の各項に $x^{2}$ を掛け、分数を消去します。

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$- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ の各項に $x^{2}$ を掛けます。

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

左辺を簡約します。

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$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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$- \frac{1}{x^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

式を書き換えます。

$- 1 = - x^{2}$

方程式を解きます。

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方程式を $- x^{2} = - 1$ として書き換えます。

$- x^{2} = - 1$

$- x^{2} = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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$- x^{2} = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

左辺を簡約します。

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2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

右辺を簡約します。

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$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} = 1$

方程式の両辺の平方根を取り、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{1}$

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm 1$

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1$

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1$

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

Step 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

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$\frac{1}{x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} = 0$

$x$ について解きます。

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方程式の両辺の平方根を取り、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

Step 8

値を求める臨界点です。

$x = 1, - 1$

Step 9

$x = 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{2}{{(1)}^{3}}$

Step 10

二次導関数の値を求めます。

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1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{2}{1}$

$2$ を $1$ で割ります。

$2$

Step 11

$x = 1$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 1$ は極小値です

Step 12

$x = 1$ のときy値を求めます。

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式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = (1) + \frac{1}{1}$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$1$ を $1$ で割ります。

$f (1) = 1 + 1$

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (1) = 2$

最終的な答えは $2$ です。

$y = 2$

Step 13

$x = - 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

Step 14

二次導関数の値を求めます。

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$- 1$ を $3$ 乗します。

$\frac{2}{- 1}$

$2$ を $- 1$ で割ります。

$- 2$

Step 15

$x = - 1$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 1$ は極大値です

Step 16

$x = - 1$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = (- 1) + \frac{1}{- 1}$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$1$ を $- 1$ で割ります。

$f (- 1) = - 1 - 1$

$- 1$ から $1$ を引きます。

$f (- 1) = - 2$

最終的な答えは $- 2$ です。

$y = - 2$

Step 17

$f (x) = x + \frac{1}{x}$ の極値です。

$(1, 2)$ は極小値です

$(- 1, - 2)$ は極大値です

Step 18

微分積分 例

微分積分例