微分積分例

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{n}}{3^{n}}$

Step 1

$a$ が第1項、 $r$ が連続する項の間の比の時、無限等比級数の和は公式 $\frac{a}{1 - r}$ を利用して求められます。

Step 2

公式 $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ に代入し簡約することで、連続する項の比を求めます。

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$a_{n}$ と $a_{n + 1}$ を $r$ の公式に代入します。

$r = \frac{\frac{2^{n + 1}}{3^{n + 1}}}{\frac{2^{n}}{3^{n}}}$

簡約します。

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分子に分母の逆数を掛けます。

$r = \frac{2^{n + 1}}{3^{n + 1}} \cdot \frac{3^{n}}{2^{n}}$

まとめる。

$r = \frac{2^{n + 1} \cdot 3^{n}}{3^{n + 1} \cdot 2^{n}}$

$2^{n + 1}$ と $2^{n}$ の共通因数を約分します。

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$2^{n}$ を $2^{n + 1} \cdot 3^{n}$ で因数分解します。

$r = \frac{2^{n} (2 \cdot 3^{n})}{3^{n + 1} \cdot 2^{n}}$

共通因数を約分します。

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$2^{n}$ を $3^{n + 1} \cdot 2^{n}$ で因数分解します。

$r = \frac{2^{n} (2 \cdot 3^{n})}{2^{n} \cdot 3^{n + 1}}$

共通因数を約分します。

$r = \frac{2^{n} (2 \cdot 3^{n})}{2^{n} \cdot 3^{n + 1}}$

式を書き換えます。

$r = \frac{2 \cdot 3^{n}}{3^{n + 1}}$

$3^{n}$ と $3^{n + 1}$ の共通因数を約分します。

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$3^{n + 1}$ を $2 \cdot 3^{n}$ で因数分解します。

$r = \frac{3^{n + 1} (2 \cdot 3^{n - (n + 1)})}{3^{n + 1}}$

共通因数を約分します。

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$1$ を掛けます。

$r = \frac{3^{n + 1} (2 \cdot 3^{n - (n + 1)})}{3^{n + 1} \cdot 1}$

共通因数を約分します。

$r = \frac{3^{n + 1} (2 \cdot 3^{n - (n + 1)})}{3^{n + 1} \cdot 1}$

式を書き換えます。

$r = \frac{2 \cdot 3^{n - (n + 1)}}{1}$

$2 \cdot 3^{n - (n + 1)}$ を $1$ で割ります。

$r = 2 \cdot 3^{n - (n + 1)}$

各項を簡約します。

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分配則を当てはめます。

$r = 2 \cdot 3^{n - n - 1 \cdot 1}$

$- 1$ に $1$ をかけます。

$r = 2 \cdot 3^{n - n - 1}$

$n$ から $n$ を引きます。

$r = 2 \cdot 3^{0 - 1}$

$0$ から $1$ を引きます。

$r = 2 \cdot 3^{- 1}$

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$r = 2 \cdot \frac{1}{3}$

$2$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$r = \frac{2}{3}$

Step 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Step 4

下界に代入し簡約することで級数の第1項を求めます。

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$n$ の $1$ を $\frac{2^{n}}{3^{n}}$ に代入します。

$a = \frac{2^{1}}{3^{1}}$

簡約します。

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指数を求めます。

$a = \frac{2}{3^{1}}$

指数を求めます。

$a = \frac{2}{3}$

Step 5

比と第1項の値を和の公式に代入します。

$\frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{2}{3}}$

Step 6

簡約します。

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分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{2}{3}}$

分母を簡約します。

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$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}$

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3 - 2}{3}}$

$3$ から $2$ を引きます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}}$

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{2}{3} (1 \cdot 3)$

$3$ の共通因数を約分します。

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$3$ を $1 \cdot 3$ で因数分解します。

$\frac{2}{3} (3 \cdot 1)$

共通因数を約分します。

$\frac{2}{3} (3 \cdot 1)$

式を書き換えます。

$2$

微分積分 例

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