微分積分例

$y = x^{2} + 1$ , $y = x + 3$

Step 1

代入で解き曲線間の交点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

各方程式の等辺を消去し、組み合わせます。

$x^{2} + 1 = x + 3$

$x$ について $x^{2} + 1 = x + 3$ を解きます。

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方程式の両辺から $x$ を引きます。

$x^{2} + 1 - x = 3$

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x^{2} + 1 - x - 3 = 0$

$1$ から $3$ を引きます。

$x^{2} - x - 2 = 0$

たすき掛けを利用して $x^{2} - x - 2$ を因数分解します。

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$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 2$ で、その和が $- 1$ です。

$- 2, 1 + y = x + 3$

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 2) (x + 1) = 0$

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0 + y = x + 3$

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

最終解は $(x - 2) (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2, - 1$

$x = 2$ のとき、 $y$ の値を求めます。

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$2$ を $x$ に代入します。

$y = (2) + 3$

$y = (2) + 3$ の $2$ を $x$ に代入して $y$ を解きます。

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括弧を削除します。

$y = 2 + 3$

括弧を削除します。

$y = (2) + 3$

$2$ と $3$ をたし算します。

$y = 5$

$x = - 1$ のとき、 $y$ の値を求めます。

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$- 1$ を $x$ に代入します。

$y = (- 1) + 3$

$y = (- 1) + 3$ の $- 1$ を $x$ に代入して $y$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

括弧を削除します。

$y = - 1 + 3$

括弧を削除します。

$y = (- 1) + 3$

$- 1$ と $3$ をたし算します。

$y = 2$

式の解は、有効な解である順序対の完全集合です。

$(2, 5)$

$(- 1, 2)$

$(2, 5)$

$(- 1, 2)$

Step 2

曲線間の領域の面積は、各領域における上の曲線の積分から下の曲線の積分を差し引いたものとして定義されます。領域は、曲線の交点で決定します。これは、代数計算またはグラフで行うことができます。

$A r e a = \int_{- 1}^{2} x + 3 d x - \int_{- 1}^{2} x^{2} + 1 d x$

Step 3

積分し、 $- 1$ と $2$ の間の面積を求めます。

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積分を1つにまとめます。

$\int_{- 1}^{2} x + 3 - (x^{2} + 1) d x$

各項を簡約します。

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分配則を当てはめます。

$x + 3 - x^{2} - 1 \cdot 1$

$- 1$ に $1$ をかけます。

$x + 3 - x^{2} - 1$

$\int_{- 1}^{2} x + 3 - x^{2} - 1 d x$

$3$ から $1$ を引きます。

$\int_{- 1}^{2} x - x^{2} + 2 d x$

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{- 1}^{2} x d x + \int_{- 1}^{2} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} 2 d x$

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} + \int_{- 1}^{2} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} 2 d x$

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - \int_{- 1}^{2} x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} 2 d x$

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 2 d x$

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 2 d x$

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 2 x]_{- 1}^{2}$

答えを簡約します。

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$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2}$ と $2 x]_{- 1}^{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{2} + 2 x]_{- 1}^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2})$

代入し簡約します。

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$2$ および $- 1$ で $\frac{1}{2} x^{2} + 2 x$ の値を求めます。

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2})$

$2$ および $- 1$ で $\frac{x^{3}}{3}$ の値を求めます。

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{2} \cdot 4 + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{4}{2} + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2} + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

式を書き換えます。

$\frac{2}{1} + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

$2$ を $1$ で割ります。

$2 + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

$2$ に $2$ をかけます。

$2 + 4 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

$2$ と $4$ をたし算します。

$6 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

$- 1$ を $2$ 乗します。

$6 - (\frac{1}{2} \cdot 1 + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$6 - (\frac{1}{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

$2$ に $- 1$ をかけます。

$6 - (\frac{1}{2} - 2) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

$- 2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$6 - (\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

$- 2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$6 - (\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

公分母の分子をまとめます。

$6 - \frac{1 - 2 \cdot 2}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 2$ に $2$ をかけます。

$6 - \frac{1 - 4}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

$1$ から $4$ を引きます。

$6 - \frac{- 3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

分数の前に負数を移動させます。

$6 - - \frac{3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$6 + 1 (\frac{3}{2}) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

$\frac{3}{2}$ に $1$ をかけます。

$6 + \frac{3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

$6$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$6 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

$6$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{6 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

公分母の分子をまとめます。

$\frac{6 \cdot 2 + 3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$6$ に $2$ をかけます。

$\frac{12 + 3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

$12$ と $3$ をたし算します。

$\frac{15}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{15}{2} - (\frac{8}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

$- 1$ を $3$ 乗します。

$\frac{15}{2} - (\frac{8}{3} - \frac{- 1}{3})$

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{15}{2} - (\frac{8}{3} - - \frac{1}{3})$

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{15}{2} - (\frac{8}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{15}{2} - (\frac{8}{3} + \frac{1}{3})$

公分母の分子をまとめます。

$\frac{15}{2} - \frac{8 + 1}{3}$

$8$ と $1$ をたし算します。

$\frac{15}{2} - \frac{9}{3}$

$9$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$3$ を $9$ で因数分解します。

$\frac{15}{2} - \frac{3 \cdot 3}{3}$

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{15}{2} - \frac{3 \cdot 3}{3 (1)}$

共通因数を約分します。

$\frac{15}{2} - \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1}$

式を書き換えます。

$\frac{15}{2} - \frac{3}{1}$

$3$ を $1$ で割ります。

$\frac{15}{2} - 1 \cdot 3$

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{15}{2} - 3$

$- 3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{15}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

$- 3$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{15}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

公分母の分子をまとめます。

$\frac{15 - 3 \cdot 2}{2}$

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 3$ に $2$ をかけます。

$\frac{15 - 6}{2}$

$15$ から $6$ を引きます。

$\frac{9}{2}$

Step 4

微分積分 例

微分積分例