微分積分例

$\sum_{i = 3}^{7} 2 {(\frac{2}{3})}^{i - 1}$

ステップ 1

$a$ が第1項、 $r$ が連続する項の間の比の時、有限等比級数の和は公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ を利用して求められます。

ステップ 2

公式 $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ に代入し簡約することで、連続する項の比を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$a_{i}$ と $a_{i + 1}$ を $r$ の公式に代入します。

$r = \frac{2 {(\frac{2}{3})}^{i + 1 - 1}}{2 {(\frac{2}{3})}^{i - 1}}$

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

共通因数を約分します。

$r = \frac{2 {(\frac{2}{3})}^{i + 1 - 1}}{2 {(\frac{2}{3})}^{i - 1}}$

式を書き換えます。

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{i + 1 - 1}}{{(\frac{2}{3})}^{i - 1}}$

${(\frac{2}{3})}^{i + 1 - 1}$ と ${(\frac{2}{3})}^{i - 1}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

${(\frac{2}{3})}^{i - 1}$ を ${(\frac{2}{3})}^{i + 1 - 1}$ で因数分解します。

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{i - 1} {(\frac{2}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{i - 1}}$

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$1$ を掛けます。

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{i - 1} {(\frac{2}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{i - 1} \cdot 1}$

共通因数を約分します。

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{i - 1} {(\frac{2}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{i - 1} \cdot 1}$

式を書き換えます。

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

${(\frac{2}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}$ を $1$ で割ります。

$r = {(\frac{2}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}$

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

分配則を当てはめます。

$r = {(\frac{2}{3})}^{i + 0 - i - - 1}$

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$r = {(\frac{2}{3})}^{i + 0 - i + 1}$

$i$ と $0$ をたし算します。

$r = {(\frac{2}{3})}^{i - i + 1}$

$i$ から $i$ を引きます。

$r = {(\frac{2}{3})}^{0 + 1}$

$0$ と $1$ をたし算します。

$r = {(\frac{2}{3})}^{1}$

簡約します。

$r = \frac{2}{3}$

ステップ 3

下界に代入し簡約することで級数の第1項を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$i$ の $3$ を $2 {(\frac{2}{3})}^{i - 1}$ に代入します。

$a = 2 {(\frac{2}{3})}^{3 - 1}$

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$3$ から $1$ を引きます。

$a = 2 {(\frac{2}{3})}^{2}$

積の法則を $\frac{2}{3}$ に当てはめます。

$a = 2 \frac{2^{2}}{3^{2}}$

$2$ を $2$ 乗します。

$a = 2 \frac{4}{3^{2}}$

$3$ を $2$ 乗します。

$a = 2 (\frac{4}{9})$

$2 (\frac{4}{9})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ と $\frac{4}{9}$ をまとめます。

$a = \frac{2 \cdot 4}{9}$

$2$ に $4$ をかけます。

$a = \frac{8}{9}$

ステップ 4

比、第1項、および項数の値を和の公式に代入します。

$\frac{8}{9} \cdot \frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{5}}{1 - \frac{2}{3}}$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

繁分数の分子と分母に $3$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

$\frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{5}}{1 - \frac{2}{3}}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{8}{9} (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{5}}{1 - \frac{2}{3}})$

まとめる。

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 (1 - {(\frac{2}{3})}^{5})}{3 (1 - \frac{2}{3})}$

分配則を当てはめます。

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{5})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{2}{3})}$

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- \frac{2}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{5})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 2}{3})}$

共通因数を約分します。

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{5})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 2}{3})}$

式を書き換えます。

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{5})}{3 \cdot 1 - 2}$

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{5})}{3 \cdot 1 - 2}$

積の法則を $\frac{2}{3}$ に当てはめます。

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 + 3 (- \frac{2^{5}}{3^{5}})}{3 \cdot 1 - 2}$

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- \frac{2^{5}}{3^{5}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 + 3 \frac{- 2^{5}}{3^{5}}}{3 \cdot 1 - 2}$

$3$ を $3^{5}$ で因数分解します。

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 + 3 \frac{- 2^{5}}{3 \cdot 3^{4}}}{3 \cdot 1 - 2}$

共通因数を約分します。

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 + 3 \frac{- 2^{5}}{3 \cdot 3^{4}}}{3 \cdot 1 - 2}$

式を書き換えます。

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 + \frac{- 2^{5}}{3^{4}}}{3 \cdot 1 - 2}$

$2$ を $5$ 乗します。

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 32}{3^{4}}}{3 \cdot 1 - 2}$

$3$ を $4$ 乗します。

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 32}{81}}{3 \cdot 1 - 2}$

$- 1$ に $32$ をかけます。

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 + \frac{- 32}{81}}{3 \cdot 1 - 2}$

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 - \frac{32}{81}}{3 \cdot 1 - 2}$

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{81}{81}$ を掛けます。

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 \cdot \frac{81}{81} - \frac{32}{81}}{3 \cdot 1 - 2}$

$3$ と $\frac{81}{81}$ をまとめます。

$\frac{8}{9} \cdot \frac{\frac{3 \cdot 81}{81} - \frac{32}{81}}{3 \cdot 1 - 2}$

公分母の分子をまとめます。

$\frac{8}{9} \cdot \frac{\frac{3 \cdot 81 - 32}{81}}{3 \cdot 1 - 2}$

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$3$ に $81$ をかけます。

$\frac{8}{9} \cdot \frac{\frac{243 - 32}{81}}{3 \cdot 1 - 2}$

$243$ から $32$ を引きます。

$\frac{8}{9} \cdot \frac{\frac{211}{81}}{3 \cdot 1 - 2}$

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{8}{9} \cdot \frac{\frac{211}{81}}{3 - 2}$

$3$ から $2$ を引きます。

$\frac{8}{9} \cdot \frac{\frac{211}{81}}{1}$

$\frac{211}{81}$ を $1$ で割ります。

$\frac{8}{9} \cdot \frac{211}{81}$

$\frac{8}{9} \cdot \frac{211}{81}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

$\frac{8}{9}$ に $\frac{211}{81}$ をかけます。

$\frac{8 \cdot 211}{9 \cdot 81}$

$8$ に $211$ をかけます。

$\frac{1688}{9 \cdot 81}$

$9$ に $81$ をかけます。

$\frac{1688}{729}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1688}{729}$

10進法形式：

$2.31550068 \dots$

帯分数形：

$2 \frac{230}{729}$

微分積分 例

微分積分例