微分積分例

${(x^{2} + 7)}^{4}$

Step 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = x^{2} + 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 7$ とします。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)$

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 u^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)$

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 7$ で置き換えます。

$f' (x) = 4 {(x^{2} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)$

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

総和則では、 $x^{2} + 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ です。

$f' (x) = 4 {(x^{2} + 7)}^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (7))$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 {(x^{2} + 7)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (7))$

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 4 {(x^{2} + 7)}^{3} (2 x + 0)$

式を簡約します。

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$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 4 {(x^{2} + 7)}^{3} (2 x)$

$2$ に $4$ をかけます。

$f' (x) = 8 {(x^{2} + 7)}^{3} x$

$8 {(x^{2} + 7)}^{3} x$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = 8 x {(x^{2} + 7)}^{3}$

Step 2

二次導関数を求めます。

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$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x {(x^{2} + 7)}^{3}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 7)}^{3}]$ です。

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{3})$

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x^{2} + 7)}^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = 8 (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{3}) + {(x^{2} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x^{2} + 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 7$ とします。

$f'' (x) = 8 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)) + {(x^{2} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 8 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)) + {(x^{2} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 7$ で置き換えます。

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)) + {(x^{2} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

総和則では、 $x^{2} + 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ です。

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} + 7)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (7))) + {(x^{2} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} + 7)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (7))) + {(x^{2} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} + 7)}^{2} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

式を簡約します。

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$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} + 7)}^{2} (2 x)) + {(x^{2} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

$2$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = 8 (x (6 {(x^{2} + 7)}^{2} x) + {(x^{2} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 8 (x \cdot x (6 {(x^{2} + 7)}^{2}) + {(x^{2} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 8 (x \cdot x (6 {(x^{2} + 7)}^{2}) + {(x^{2} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 8 (x^{1 + 1} (6 {(x^{2} + 7)}^{2}) + {(x^{2} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 7)}^{2}) + {(x^{2} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 7)}^{2}) + {(x^{2} + 7)}^{3} \cdot 1)$

${(x^{2} + 7)}^{3}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 7)}^{2}) + {(x^{2} + 7)}^{3})$

簡約します。

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分配則を当てはめます。

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 7)}^{2})) + 8 {(x^{2} + 7)}^{3}$

$6$ に $8$ をかけます。

$f'' (x) = 48 (x^{2} ({(x^{2} + 7)}^{2})) + 8 {(x^{2} + 7)}^{3}$

$8 {(x^{2} + 7)}^{2}$ を $48 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{2} + 8 {(x^{2} + 7)}^{3}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

$8 {(x^{2} + 7)}^{2}$ を $48 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = 8 {(x^{2} + 7)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} + 7)}^{3}$

$8 {(x^{2} + 7)}^{2}$ を $8 {(x^{2} + 7)}^{3}$ で因数分解します。

$f'' (x) = 8 {(x^{2} + 7)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} + 7)}^{2} (x^{2} + 7)$

$8 {(x^{2} + 7)}^{2}$ を $8 {(x^{2} + 7)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} + 7)}^{2} (x^{2} + 7)$ で因数分解します。

$f'' (x) = 8 {(x^{2} + 7)}^{2} (6 x^{2} + x^{2} + 7)$

$6 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$f'' (x) = 8 {(x^{2} + 7)}^{2} (7 x^{2} + 7)$

${(x^{2} + 7)}^{2}$ を $(x^{2} + 7) (x^{2} + 7)$ に書き換えます。

$f'' (x) = 8 ((x^{2} + 7) (x^{2} + 7)) (7 x^{2} + 7)$

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{2} + 7) (x^{2} + 7)$ を展開します。

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分配則を当てはめます。

$f'' (x) = 8 (x^{2} (x^{2} + 7) + 7 (x^{2} + 7)) (7 x^{2} + 7)$

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 7 + 7 (x^{2} + 7)) (7 x^{2} + 7)$

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 7 + 7 x^{2} + 7 \cdot 7) (7 x^{2} + 7)$

簡約し、同類項をまとめます。

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各項を簡約します。

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指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 8 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 7 + 7 x^{2} + 7 \cdot 7) (7 x^{2} + 7)$

$2$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = 8 (x^{4} + x^{2} \cdot 7 + 7 x^{2} + 7 \cdot 7) (7 x^{2} + 7)$

$7$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = 8 (x^{4} + 7 \cdot x^{2} + 7 x^{2} + 7 \cdot 7) (7 x^{2} + 7)$

$7$ に $7$ をかけます。

$f'' (x) = 8 (x^{4} + 7 x^{2} + 7 x^{2} + 49) (7 x^{2} + 7)$

$7 x^{2}$ と $7 x^{2}$ をたし算します。

$f'' (x) = 8 (x^{4} + 14 x^{2} + 49) (7 x^{2} + 7)$

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = (8 x^{4} + 8 (14 x^{2}) + 8 \cdot 49) (7 x^{2} + 7)$

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$14$ に $8$ をかけます。

$f'' (x) = (8 x^{4} + 112 x^{2} + 8 \cdot 49) (7 x^{2} + 7)$

$8$ に $49$ をかけます。

$f'' (x) = (8 x^{4} + 112 x^{2} + 392) (7 x^{2} + 7)$

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(8 x^{4} + 112 x^{2} + 392) (7 x^{2} + 7)$ を展開します。

$f'' (x) = 8 x^{4} (7 x^{2}) + 8 x^{4} \cdot 7 + 112 x^{2} (7 x^{2}) + 112 x^{2} \cdot 7 + 392 (7 x^{2}) + 392 \cdot 7$

各項を簡約します。

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積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{4} x^{2}) + 8 x^{4} \cdot 7 + 112 x^{2} (7 x^{2}) + 112 x^{2} \cdot 7 + 392 (7 x^{2}) + 392 \cdot 7$

指数を足して $x^{4}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

$x^{2}$ を移動させます。

$f'' (x) = 8 \cdot (7 (x^{2} x^{4})) + 8 x^{4} \cdot 7 + 112 x^{2} (7 x^{2}) + 112 x^{2} \cdot 7 + 392 (7 x^{2}) + 392 \cdot 7$

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{2 + 4}) + 8 x^{4} \cdot 7 + 112 x^{2} (7 x^{2}) + 112 x^{2} \cdot 7 + 392 (7 x^{2}) + 392 \cdot 7$

$2$ と $4$ をたし算します。

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{6}) + 8 x^{4} \cdot 7 + 112 x^{2} (7 x^{2}) + 112 x^{2} \cdot 7 + 392 (7 x^{2}) + 392 \cdot 7$

$8$ に $7$ をかけます。

$f'' (x) = 56 x^{6} + 8 x^{4} \cdot 7 + 112 x^{2} (7 x^{2}) + 112 x^{2} \cdot 7 + 392 (7 x^{2}) + 392 \cdot 7$

$7$ に $8$ をかけます。

$f'' (x) = 56 x^{6} + 56 x^{4} + 112 x^{2} (7 x^{2}) + 112 x^{2} \cdot 7 + 392 (7 x^{2}) + 392 \cdot 7$

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = 56 x^{6} + 56 x^{4} + 112 \cdot (7 x^{2} x^{2}) + 112 x^{2} \cdot 7 + 392 (7 x^{2}) + 392 \cdot 7$

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

$x^{2}$ を移動させます。

$f'' (x) = 56 x^{6} + 56 x^{4} + 112 \cdot (7 (x^{2} x^{2})) + 112 x^{2} \cdot 7 + 392 (7 x^{2}) + 392 \cdot 7$

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 56 x^{6} + 56 x^{4} + 112 \cdot (7 x^{2 + 2}) + 112 x^{2} \cdot 7 + 392 (7 x^{2}) + 392 \cdot 7$

$2$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = 56 x^{6} + 56 x^{4} + 112 \cdot (7 x^{4}) + 112 x^{2} \cdot 7 + 392 (7 x^{2}) + 392 \cdot 7$

$112$ に $7$ をかけます。

$f'' (x) = 56 x^{6} + 56 x^{4} + 784 x^{4} + 112 x^{2} \cdot 7 + 392 (7 x^{2}) + 392 \cdot 7$

$7$ に $112$ をかけます。

$f'' (x) = 56 x^{6} + 56 x^{4} + 784 x^{4} + 784 x^{2} + 392 (7 x^{2}) + 392 \cdot 7$

$7$ に $392$ をかけます。

$f'' (x) = 56 x^{6} + 56 x^{4} + 784 x^{4} + 784 x^{2} + 2744 x^{2} + 392 \cdot 7$

$392$ に $7$ をかけます。

$f'' (x) = 56 x^{6} + 56 x^{4} + 784 x^{4} + 784 x^{2} + 2744 x^{2} + 2744$

$56 x^{4}$ と $784 x^{4}$ をたし算します。

$f'' (x) = 56 x^{6} + 840 x^{4} + 784 x^{2} + 2744 x^{2} + 2744$

$784 x^{2}$ と $2744 x^{2}$ をたし算します。

$f'' (x) = 56 x^{6} + 840 x^{4} + 3528 x^{2} + 2744$

微分積分 例

微分積分例