微分積分例

$\sum_{n = 1}^{50} n (4 n + 3)$

ステップ 1

総和を簡約します。

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分配則を当てはめます。

$n (4 n) + n \cdot 3$

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 n \cdot n + n \cdot 3$

$3$ を $n$ の左に移動させます。

$4 n \cdot n + 3 \cdot n$

指数を足して $n$ に $n$ を掛けます。

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$n$ を移動させます。

$4 (n \cdot n) + 3 \cdot n$

$n$ に $n$ をかけます。

$4 n^{2} + 3 \cdot n$

$4 n^{2} + 3 n$

総和を書き換えます。

$\sum_{n = 1}^{50} 4 n^{2} + 3 n$

$\sum_{n = 1}^{50} 4 n^{2} + 3 n$

ステップ 2

総和の法則に合う小さい総和に総和を分割します。

$\sum_{n = 1}^{50} 4 n^{2} + 3 n = 4 \sum_{n = 1}^{50} n^{2} + 3 \sum_{n = 1}^{50} n$

ステップ 3

$4 \sum_{n = 1}^{50} n^{2}$ の値を求めます。

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次数 $2$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

値を公式に代入して、必ず前の項を掛けます。

$(4) (\frac{50 (50 + 1) (2 \cdot 50 + 1)}{6})$

簡約します。

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分子を簡約します。

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$50$ と $1$ をたし算します。

$4 \frac{50 \cdot 51 (2 \cdot 50 + 1)}{6}$

指数をまとめます。

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$50$ に $51$ をかけます。

$4 \frac{2550 (2 \cdot 50 + 1)}{6}$

$2$ に $50$ をかけます。

$4 \frac{2550 (100 + 1)}{6}$

$4 \frac{2550 (100 + 1)}{6}$

$100$ と $1$ をたし算します。

$4 \frac{2550 \cdot 101}{6}$

$4 \frac{2550 \cdot 101}{6}$

項を簡約します。

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$2550$ に $101$ をかけます。

$4 (\frac{257550}{6})$

$2$ の共通因数を約分します。

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$2$ を $4$ で因数分解します。

$2 (2) \frac{257550}{6}$

$2$ を $6$ で因数分解します。

$2 \cdot 2 \frac{257550}{2 \cdot 3}$

共通因数を約分します。

$2 \cdot 2 \frac{257550}{2 \cdot 3}$

式を書き換えます。

$2 (\frac{257550}{3})$

$2 (\frac{257550}{3})$

$2$ と $\frac{257550}{3}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 257550}{3}$

式を簡約します。

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$2$ に $257550$ をかけます。

$\frac{515100}{3}$

$515100$ を $3$ で割ります。

$171700$

$171700$

$171700$

$171700$

$171700$

ステップ 4

$3 \sum_{n = 1}^{50} n$ の値を求めます。

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次数 $1$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

値を公式に代入して、必ず前の項を掛けます。

$(3) (\frac{50 (50 + 1)}{2})$

簡約します。

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$50$ と $1$ をたし算します。

$3 \frac{50 \cdot 51}{2}$

$50$ に $51$ をかけます。

$3 (\frac{2550}{2})$

$2550$ を $2$ で割ります。

$3 \cdot 1275$

$3$ に $1275$ をかけます。

$3825$

$3825$

$3825$

ステップ 5

合計した結果をたします。

$171700 + 3825$

ステップ 6

$171700$ と $3825$ をたし算します。

$175525$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$